Hay un proyectivas de la estructura del modelo en la categoría de (pre)poleas con valor en cualquier reasonnable modelo de categoría (por ejemplo, simplicial conjuntos complejos de abelian grupos, conmutativo k-dg-álgebras, donde k es cierto campo de tipo char. 0, o k-dg-álgebras para cualquier anillo conmutativo k); véase, por ejemplo, def. 4.4.33 y 4.4.40 y cor. 4.4.42 en Ayoub del libro (Astérisque 315), cuya versión en línea está aquí (también hay un papel de Barwick, que hace el trabajo si desea que el descenso a la Lurie (aparecer en la HHA pronto, creo)).
Si usted tiene un sitio C y una a la izquierda Quillen functor F:M->M', se obtiene una izquierda Quillen functor Sh(C,M)->Sh(C,M') entre el modelo de categorías de las poleas. El fibrant objetos siempre tienen el buen gusto de ser exactamente la termwise fibrant poleas que satisfacer (hiper)descenso, y, si tiene los suficientes puntos, la debilidad de equivalencias se definen tallo sabio.
Si M=SSet y M'=Complejos de R-espacios vectoriales, la costumbre contigüidad SSet<->Comp(R) da un Quillen contigüidad:
Sh(C,Sset) <-> Sh(C,Comp(R))
Si se considera el modelo proyectivo de la estructura de Sh(C,Sset), cualquier simplicial gavilla de X tal que, para cada n, X_n es una suma de representables, es cofibrant (y cualquier cofibrant objeto es débilmente equivalente a una cosa). Por lo tanto, si C={diferencial real colectores}, si usted permite que su colectores para ser estable en pequeñas cantidades, el simplicial colectores son sus favoritos cofibrant objetos. Por lo tanto, puede aplicar toda la maquinaria de categorías de modelo (por ejemplo, la homotopy categoría de cofibrant objetos es equivalente a la totalidad de la Ho(M) para cualquier modelo de la categoría M). Como el complejo de de Rham satisface descenso en los colectores, entonces es un fibrant objeto (para el modelo proyectivo de la estructura de las poleas de los complejos), y usando el Quillen contigüidad, usted conseguirá que los derivados de las secciones del complejo de de Rham más de un simplicial colector se comporta como mapas a partir de una cofibrant objeto a un fibrant objeto en cualquier modelo de la categoría: bastante bien. Desde allí, usted debe ser capaz de demostrar que de Rham cohomology de simplicial colectores es, de hecho, la descripción explícita del total de la izquierda derivados functor de la izquierda Quillen functor DR:Sh(colectores,Sset)->cdga^op.
[Añade comentarios] también Se puede considerar la izquierda Bousfield localización L_R de la proyectiva modelo de la categoría de simplicial gavillas en la categoría de colectores que consiste en invertir los mapas XxR->X para cualquier colector de X (donde R denota la recta real). El resultado es un modelo de la categoría que se Quillen equivalente a la categoría de modelos de simplicial conjuntos. El uso de la Poincaré lema (que le da el homotopy la invariancia de de Rham cohomology), el functor
DR:Sh(colectores,Sset)->cdga^op induce un functor de forma
Ho(Sset)=Ho(L_R Sh(colectores,Sset))->Ho(cdga)^op
que simplemente es (isomorfo a) el functor de Quillen-Sullivan.
