Diagonalize la matriz (números complejos)

Question

Diagonalize la matriz de Un

$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\3 & 5 & 2 \\2 & 6 & 1\end{pmatrix}$

Por lo tanto, comencé el problema de encontrar el polinomio característico que fue

$λ^3-7λ^2-15λ-27$

usando la división larga conseguí $(λ-9)(λ^2+2λ+3)$

así que he usado la fórmula cuadrática y consiguió

$λ_1=-1+i\sqrt{2}$ $λ_2=-1-i\sqrt{2}$ $λ_3=9$

Me decidí a empezar con $λ_1$

$A-\left(-1+i\sqrt{2}\right)I=\begin{pmatrix}2-i\sqrt{2} & 2 & 4 \\3 & 6-i\sqrt{2} & 2 \\2 & 6 & 2-i\sqrt{2}\end{pmatrix}$

Ahora entiendo cómo diagonalize cuando tengo todos los números, pero una vez que tengo estos $i$'s en la ecuación es como si mi cerebro no comprender los pasos que necesita tomar el obtener la diagonal formulario..

Me gustaría pensar que voy a empezar por conseguir la inversa de esta nueva matriz, pero no veo cómo hacerlo con $i$'s involucrados.

Answer 1

Una extraña manera de encontrar los vectores propios es el uso de la Cayley-Hamilton Teorema, $$ (A-9I)(A^{2}+2A+3I) = 0. $$ Debido a esto, las columnas de a $A^{2}+2A+3I$ son vectores propios de a $A$ con autovalor $9$. Por ejemplo, $$ \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\3 & 5 & 2 \\2 & 6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\3 & 5 & 2 \\2 & 6 & 1\end{pmatrix}+ 2\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\3 & 5 & 2 \\2 & 6 & 1\end{pmatrix}+ 3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix}15 & 36 & 12 \\ 22 & 43 & 24 \\22 & 40 & 21 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 4 & 8 \\ 6 & 10 & 4 \\ 4 & 12 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}20 & 40 & 20 \\ 28 & 56 & 28 \\ 26 & 52 & 26\end{pmatrix} $$ Del mismo modo, las columnas de los siguientes son los vectores propios con autovalor $-1-\sqrt{2}i$ $$ (A-9I)(A-(-1+\sqrt{2}i)i)=A^{2}+(-8-\sqrt{2}i)+(-9+9\sqrt{2}i) $$ Sólo se necesita la primera columna: $$ \begin{pmatrix} 15 \\ 22 \\ 22\end{pmatrix}+(-8-2\sqrt{2}i)\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + (-9+9\sqrt{2}i)\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} -2+7\sqrt{2}i \\ -2-6\sqrt{2}i \\ 6-4\sqrt{2}i\end{pmatrix} $$ Y el conjugado de este vector es el que va a tener el conjugado de su valor propio. Por lo que una base de vectores propios es $$ \begin{pmatrix}10 \\ 14 \\ 13\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2+7\sqrt{2}i \\ -2-6\sqrt{2}i \\ +6-4\sqrt{2}i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2-7\sqrt{2}i \\ -2+6\sqrt{2}i \\ +6+4\sqrt{2}i\end{pmatrix} $$

Answer 2

A diagonalize que la matriz debe buscar el kernel de $A-\lambda_1\mathbb{I}_3$, que es una forma elegante para indicar a la familia de vectores para que $A(v)=\lambda_1v$. El núcleo se define como

$$\text{ker}(A+(1-i\sqrt 2)\mathbb{I}_3)=\{v \in \mathbb C^n | (A+(1-i\sqrt 2)\mathbb{I}_3)(v)=0_{\mathbb{C}^n}\}$$

Que es el conjunto de vectores que se asignan a cero en la matriz $(A+(1-i\sqrt 2)\mathbb{I}_3)$. Con los números reales, puede ser intuitiva; con complejos raramente lo es sin un poco de práctica. Usted puede de manera sistemática (ningún retruécano previsto) para entender que los vectores esto sucede a través de cualquier tipo de técnica para la resolución de un sistema lineal de ecuaciones.

En el caso de que el subespacio propio relativa a$\lambda_1$$\langle (-1-i\sqrt 2, \frac{i}{\sqrt 2},1)^T \rangle $: este será el primer vector columna de que la matriz de transición. Debe repetir este proceso para los otros dos autovalores para encontrar las otras dos columnas.

Se puede tomar desde aquí?