Diferencias entre la densidad de la probabilidad y el valor de la expectativa de la posición

Question

La expresión $\int | \Psi\left(x\right)|^2dx$ da la probabilidad de encontrar una partícula en una posición determinada.

Si la función de onda da las probabilidades de puestos, ¿por qué hemos de calcular la "expectativa de valor de posición"?

No entiendo la diferencia conceptual, ya tenemos una función de onda de una posición. Expectativa de valor está relacionado con las probabilidades.

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre ellos? Y ¿por qué hemos de calcular la expectativa de valor de posición, aunque tenemos una función de probabilidad de encontrar una partícula en una posición determinada?

Answer 1

En la posición en el espacio (es decir, cuando sus funciones son funciones de x), la función de $\int|\Psi|^2$ da la probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo dado. La expectativa de valor de x es donde esperaba encontrar a la partícula. A menudo es esencialmente el promedio ponderado de todas las posiciones donde la densidad de probabilidad, $|\Psi|^2$, es la función de ponderación (que no es exactamente lo que es, pero es una analogía útil). Del mismo modo, usted puede encontrar la expectativa de valor para cualquier cantidad mensurable. En este espacio, la diferencia entre las dos es que la expectativa de valor es un número que representa la media esperada de la posición de la partícula a lo largo de muchas mediciones, mientras que la probabilidad es un número que da la probabilidad de encontrar la partícula dentro de los límites de la integración.

Sin embargo, puede utilizar cualquier base diferente. Por ejemplo, usted podría elegir el impulso de espacio, $\left|\Psi\right>$ $\Psi(p)$ (físicos cuánticos por favor no me maten por que afrenta a la notación). En el impulso de espacio, la integral de la $\int|\Psi|^2$ es ahora la probabilidad de que la partícula tiene un rango determinado de impulsos. Sin embargo, la expectativa de valor de x es todavía el promedio de medición de x. Se pregunta, ¿es el momento? La expectativa de valor es un número que puede ser encontrado en cualquier base que representa el "promedio" el valor de una medición. La probabilidad de encontrar por $\int|\Psi|^2$ es la probabilidad de que una partícula se encuentra dentro de un intervalo especificado de valores de la base de que usted está utilizando.

$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi|^2dx$ "#%de probabilidad de que la partícula se encuentra entre el$x_1$$x_2$"

$\left<\Psi\right|x\left|\Psi\right>$ es "la media esperada de la posición de la partícula a lo largo de un gran número de medidas de muestra es en $x$=#"

$|\Psi|^2(x)$ es una función "la probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partícula en esta posición es #%"

Answer 2

Tengo 5 bolsas de etiquetados de 1 a 5, y tengo al azar cayó de las letras de la a a la J en las bolsas. Elige una carta al azar y usted puede ganar como muchos Suizos como el número de la bolsa que contiene la carta.

Si he distribuido las letras de manera uniforme, entonces no debe ser de 2 letras en cada bolsa, por lo que podríamos decir que ψ(bagnumber) = ψ = sqrt(2).

Pero si queremos saber cuántos Suizos esperamos ganar en promedio, entonces decimos:

E[Suizos] = [1 Franco x 2 + 2 x Suizos 2 + ... ]/[2 + 2 + ... ] = 3

ψ no es el valor que usted espera, pero la distribución de los valores disponibles. Por lo tanto para encontrar la espera de valor promedio, usted tendrá que hacer un promedio ponderado de los valores y de las probabilidades.

Answer 3

Expectativa de valor es un concepto diferente de la probabilidad. De hecho, usted puede tener una expectativa de valor de la energía, momento angular, etc., no sólo por la posición.

Una expectativa de valor de un observable de un estado $\Psi$ es el valor promedio de un gran número de mediciones de lo observable, suponiendo que cada medición se efectuará en el mismo estado $\Psi$. Por ejemplo, si usted tiene la probabilidad de 0.5 a medir la energía $E_o$ y una probabilidad de 0.5 a medida $-E_o$, la expectativa de valor es $0.5\times E_o + 0.5\times(-E_o) = 0$. Como muestra este ejemplo, la expectativa de valor no tiene que ser uno de los "permitidos" de las mediciones. Esto también muestra que el conocimiento de las probabilidades es un concepto diferente de conocer el valor promedio de un gran número de mediciones.

Lo mismo pasa para la posición. Usted puede saber lo que la densidad de probabilidad está en una posición en particular, pero usted tendría que realizar los cálculos para averiguar cuál es el valor promedio de las muchas medidas de posición sería.

Answer 4

Que $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$; entonces una función normalizada $\int_\Omega \lvert\psi(x)\rvert^2dx$ $\psi\in L^2(\mathbb{R}^n)$, da la probabilidad de que la partícula se encuentra en la región de espacio $\Omega$, pero no dar más información sobre su posición. Si desea obtener una información cuantitativa sobre este último (dentro de los límites de la indeterminación cuántica), tienes que calcular el valor de la expectativa $\int_{\mathbb{R}^n} x_j\lvert\psi(x)\rvert^2dx$, para cada componente $x_j$.

Answer 5

La expectativa de valor (de posición) representa el valor promedio (posición) de la partícula (tiene unidades de longitud en este caso) que es diferente de la ubicación real de la partícula (también unidades de longitud). Por ejemplo, tomar un electrón en un átomo de hidrógeno; la expectativa de valor para todos los niveles de energía está en el núcleo, aunque muchos de los niveles de energía tienen 0 probabilidad de estar allí.

La función de onda representa una distribución de posibles valores que puede y debe convertirse en unidad menor (técnicamente, las unidades de la porción de una partícula) después de que la plaza e integrar con respecto a cualquier base que estamos viendo. En una dimensión, que tiene unidades de longitud$^{-1/2}$.

Tan importante como es, la mayoría de las cantidades que calcular primero (expectativa de valor, el espacio físico de las funciones de onda, etc...) proporcionan una simple e intuitiva introducción al formalismo y practicar el uso de diferentes bases. Más valioso (fácilmente medibles) las cantidades pueden incluir la expectativa de valor de la polarización, de energía, de impulso y de diversas incertidumbres.

Los físicos tienen un horrible hábito de usar ad-hoc notaciones y Jim hace un gran trabajo de explicar las notaciones para los diferentes valores físicos y la elección de la base, a pesar de pedir disculpas a los físicos de abuso de notación es hilarante.