Muestran que es continuo en $f$ $0$ y satisface las condiciones de Cauchy Riemman pero no es diferenciable.

Question

Deje $f:\Bbb{C}\to \Bbb{C}$ se define como

$$f(x+iy)= \frac{x^{3}-y^{3}+i(x^{3}+y^{3})}{x^2+y^2} \text{ if} x+iy \neq 0$$

y $f(x+iy)=0$ si $x+iy=0$

Mostrar que $f$ es continua en a $0$ y que satisface a la de Cauchy Riemman condiciones, pero no es diferenciable

Ok, así que me estoy poniendo mal estado cuando se intenta comprobar la continuidad. Por supuesto, tengo que comprobar que

$$\lim_{x+iy \to 0}f(x+iy) = 0$$

Sin embargo, mi duda es la siguiente: soy consciente de resultado (ya he confirma) que dice que

$$\lim_{z\to z_0} f(z) = a + ib \text{ iff } \lim_{z\to z_0}\operatorname{Re}(f(z)) = a \text{ and } \lim_{z\to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = b$$

Sin embargo, con el uso de este resultado (o no), Im se mezclen con el $x+iy \to 0$. ¿Esto implica tomar $|x+iy|=x^2+y^2 < \epsilon$ por cada $\epsilon >0$?

Y así, ¿cómo puedo proceder?

Debo encontrar a este límite, por definición, o hay otra manera?

Gracias!

Answer 1

Para cualquier $\epsilon >0$ si $\vert z\vert <\epsilon $ $\vert x \vert ,\vert y\vert < \epsilon $ y un cálculo rutinario muestra que

$\vert f(z)-0\vert ^{2}=\left | \frac{x^{3}-y^{3}+i(x^{3}+y^{3})}{x^2+y^2} \right |^{2}=\frac{(x^{3}-y^{3})^{2}+(x^{3}+y^{3})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=2\frac{x^{6}+y^{6}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\leq 2\cdot \frac{2\epsilon ^{6}}{4\epsilon ^{4}}=\epsilon ^{2}$.

Así si establece $\delta =\epsilon $ $\vert z-0\vert <\delta \Rightarrow \vert f(z)-0\vert <\epsilon $

Para no-differentiability en cero, observamos que a lo largo de $y=0$ que tenemos, cuando $z\neq 0$:

$\left | \frac{f(z)}{z} \right |^{2}=\frac{x^{3}(1+i)}{x^{3}}=\left ( 1+i \right )$

y a lo largo de $x=0$

$\left | \frac{f(z)}{z} \right |^{2}=\frac{y^{3}(-1+i)}{y^{3}}=\left ( -1+i \right )$

y por lo tanto no existe $\lim _{z\to 0}\frac{f(z)}{z}$.

Answer 2

La norma es continuo por lo que implica de $x+iy\to 0$ $x^2+y^2\to 0$ o se puede usar el resultado usted declaró con $x+iy$ y $f$ la función de identidad.