forma cerrada $\int_{0}^{\infty}\frac{ \beta(a+ix,a-ix)}{\beta(b+ix,b-ix)}\frac{dx}{(b^2+x^2)}$

Question

cerrado formulario de: $$\int_{0}^{\infty}\frac{ \beta(a+ix,a-ix)}{\beta(b+ix,b-ix)}\frac{\mathrm{dx}}{(b^2+x^2)}$ $

donde $\beta$ es la función beta

He probado con la definición de beta y tengo

$$I=\frac{\Gamma(2b)}{\Gamma(2a)}\int_{0}^{\infty}\frac{\Gamma(a-ix)\Gamma(a+ix)}{\Gamma(b-ix)\Gamma(b+ix)}\frac{\mathrm{dx}}{(b^2+x^2)}$$

También utilicé la forma del producto pero no

Creo que es algo relacionado con análisis complejo así que si hay algún tipo de ayuda.

Gracias.

Answer 1

La integral se evalúa para ser\begin{align} \int_{0}^{\infty} \, \left| \frac{\Gamma(a + i x) }{ \Gamma(b + 1 + ix)} \right|^{2} \, dx = \frac{4^{b-a}}{2 \, b} \, B\left( b - a + \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end {Alinee el}