Un extrañamente conectados subconjunto de $\Bbb R^2$

Question

Deje $S\subset{\Bbb R}^2$ (o cualquier espacio métrico, pero nos quedaremos con $\Bbb R^2$) y deje $x\in S$. Supongamos que todos lo suficientemente pequeños círculos con centro en el $x$ se cruzan $S$ exactamente $n$ puntos; si este es el caso, entonces decir que el valencia de $x$$n$. Por ejemplo, si $S=[0,1]\times\{0\}$, cada punto de $S$ tiene valencia 2, con la excepción de$\langle0,0\rangle$$\langle1,0\rangle$, que tiene valencia 1.

Este es un patrón típico, donde hay un número incontable de 2-valente puntos y un finito, posiblemente vacía conjunto de puntos con otras valencias. En otro patrón típico, por ejemplo,${\Bbb Z}^2$, cada punto es 0-valente; en otro, por ejemplo un disco, ninguno de los puntos tiene una bien definida de valencia.

Existe un subconjunto no vacío de a$\Bbb R^2$, en la que cada punto es de 3-valente? Yo creo que sí, uno puede ser construido con un típico inducción transfinita argumento, aunque no he trabajado los detalles. Pero lo que realmente quiero es un ejemplo de un conjunto que puede ser exhibido de manera concreta.

De qué se trata, $\Bbb R^2$ que en todas partes 2-valente conjuntos se comportan bien, pero en todas partes 3-valente conjuntos están locos? ¿Hay algún espacio que podría utilizar en lugar de $\Bbb R^2$ en los que ocurre lo contrario?

Answer 1

Puedo afirmar que existe un conjunto $S \subseteq {\mathbb R}^2$ que contiene exactamente tres puntos en cada círculo.

Bien el fin de todos los círculos por el primer ordinal de cardinalidad $\mathfrak c$$C_\alpha, \alpha < \mathfrak c$. Por inducción transfinita voy a construir conjuntos de $S_\alpha$ con $S_\alpha \subseteq S_\beta$ $\alpha < \beta$ , y tomar $S = \bigcup_{\alpha < {\mathfrak c}} S_\alpha$. Estas se tienen las siguientes propiedades:

1. $S_\alpha$ contiene exactamente tres puntos en cada círculo de $C_\beta$$\beta \le \alpha$.
2. $S_\alpha$ no contiene más que tres puntos en cualquier círculo.
3. $\text{card}(S_\alpha) \le 3\, \text{card}(\alpha)$

Comenzamos con $S_1$ que consta de tres puntos en $C_1$. Ahora, dada $S_{<\alpha} = \bigcup_{\beta < \alpha} S_\beta$, considere el círculo de $C_\alpha$.
Deje $k$ ser la cardinalidad de a $C_\alpha \cap S_{<\alpha}$. Por la propiedad (2), $k \le 3$. Si $k = 3$, tome $S_\alpha = S_{<\alpha}$. De lo contrario, tenemos que añadir en $3-k$ puntos. Tenga en cuenta que hay menos de ${\mathfrak c}$ círculos determinado por tripletas de puntos en $S_{<\alpha}$, todos los cuales son diferentes de $C_\alpha$, y así hay menos de $\mathfrak c$ $C_\alpha$ que son en tales círculos. Desde $C_\alpha$ $\mathfrak c$ de los puntos, podemos agregar en un punto de $a$ $C_\alpha$ que no se encuentra en alguno de los círculos. Si $k \le 1$, necesitamos un segundo punto de $b$ no en los círculos determinado por triplica en $S_{<\alpha} \cup \{a\}$, y si $k=0$ un tercer punto de $c$ no en los círculos determinado por triplica en $S_{<\alpha} \cup \{a,b\}$. Nuevamente, esto puede ser hecho, y es fácil ver que las propiedades (1,2,3) son satisfechos.

Finalmente, el círculo de $C_\alpha$ contiene exactamente tres puntos de $S_\alpha$, y no más de tres puntos de $S$ (si contenía más de tres puntos de $S$, habría más de tres en algunos $S_\beta$, contradiciendo la propiedad (2)).

Answer 2

Aquí están los detalles de la inducción transfinita argumento:

Bien el fin de el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^d$ y deje $p_\alpha$ denotar el punto en el índice ordinal $\alpha$. Definir a continuación:

$S_{<\alpha} = \bigcup_{\beta \lt \alpha}{S_\beta}$

$S_0 = \{p_0\}$

$S_\alpha = S_{<\alpha}$ cuando hay un $(d-1)$-esfera centrada en $p_\alpha$ de intersección $S_{<\alpha}$ a más de $n$ puntos.

$S_\alpha = S_{<\alpha} \cup \{p_\alpha\}$ lo contrario.

Se puede ver que $\bigcup_{\alpha}{S_\alpha}$ está en todas partes-$n$-valente.

Este es en realidad un poco más fuerte, ya que cada punto de ha $n$ vecinos en cada distancia, no sólo arbitrariamente pequeños. Funciona para cualquier $n$ y también las $d$, pero no sé exactamente a que la métrica de los espacios.

No sé si hay algún ejemplo concreto. Tal vez vale la pena considerar la valencia de avión fractales como el copo de nieve de Koch; tal vez hay ejemplos concretos de todas partes-$2 \cdot n$-valente curvas ondulantes suficiente para entrar y salir arbitrariamente pequeños círculos varias veces. Debido a la Jordania de la curva de teorema, este enfoque parece menos prometedor para encontrar todas partes-impar-valencia conjuntos.