Juegos de azar Teorema del sistema dada por Doob

Question

Deje$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de yo.yo.d. variable aleatoria. Deje $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty} $ser una secuencia de estrictamente creciente finito de los tiempos de parada.
A continuación, $\{X_{\alpha_k+1}\}_{n=1}^{\infty}$ es también una secuencia de yo.yo.d. variable aleatoria.
Puedo demostrar este teorema, bajo el supuesto de que la familia $\{X_n,\alpha_k\}_{n,k\in\mathbb{N}}$ es independiente. En realidad, para demostrar la independencia acabo de probar el caso de la intersección finita y la independencia de infinito intersección de la siguiente manera tomando el límite. Aquí está mi prueba:
Deje $\Lambda_n=\bigcap\limits_{k=1}^{n} \{X_{\alpha_k+1} \in B_k\} $ $ n\in\mathbb{N}$
Reclamo: $P(\Lambda_n)=\prod\limits_{k=1}^{n}P(X_{k} \in B_k)$ $$P(\Lambda_1)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(X_{m+1} \en B_1,\alpha_1=m) \\ =\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(X_{m+1} \en B_1)P(\alpha_1=m) \\ =\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(X_{1} \en B_1)P(\alpha_1=m)\\=P(X_{1} \en B_1)$$ Supongamos que es cierto para $n=N-1$.
$$P(\Lambda_N)=\sum\limits_{m=N}^{\infty}P(X_{m+1} \en B_N,\alpha_N=m,\Lambda_{N-1})\\ =\sum\limits_{m=N}^{\infty}\sum\limits_{0\leq i_1 < i_2<...<i_{N-1}<m}P(X_{m+1} \en B_N,\alpha_N=m,\alpha_k=i_k,X_{i_k+1}\en B_k , k=1,2,...,N-1) \\ =\sum\limits_{m=N}^{\infty}\sum\limits_{0\leq i_1 < i_2<...<i_{N-1}<m}P(X_{m+1} \en B_N)P(\alpha_N=m,\alpha_k=i_k,X_{i_k+1}\en B_k , k=1,2,...,N-1) \\ =P(X_N\en B_N)P(\Lambda_{N-1})$$

Como $P(X_{\alpha_k+1}\in B)=P(X_{k} \in B)$ (a partir de la prueba para n=1), la independencia está probado.
Y por la misma razón, $P(X_{\alpha_k+1}\in B)=P(X_{k} \in B)=P(X_{1} \in B)=P(X_{\alpha_1+1}\in B)$ todos los $k\in \mathbb{N}$, es idénticamente distribuidas.

No estoy seguro de si mi prueba es correcta.
El principal problema es si el supuesto de "La familia $\{X_n,\alpha_k\}_{n,k\in\mathbb{N}}$ es independiente." se puede quitar. Ya que se puede tomar $\alpha_k $ a ser el primero golpeando el tiempo de ${X_k} $ con algún juego, no es adecuado para asumir esta familia es independiente.
Si sí, ¿cómo demostrar el teorema sin esta suposición?
Si no, ¿hay algún contador de ejemplo?

Answer 1

Si la secuencia $\{X_n\}$ es i.i.d. y $\alpha_k$ es parar veces el % de filtración $\mathcal F_n:=\sigma\{ X_k: k=1,2,\ldots,n\}$, $n\ge 1$, entonces su argumento tal y como está demuestra que $\{X_{\alpha_k+1}\}_{k=1}^\infty$ es i.i.d. Por ejemplo, considerar $$ P(X_{m+1} \in B_N,\alpha_N=m,\Lambda_{N-1}) $$ en su cálculo, $m\ge N$, el evento $\{\alpha_N=m\}\cap \Lambda_{N-1}$ es un elemento de $\mathcal F_m$, por lo tanto independiente del $X_{m+1}$. Por lo tanto $$ P(X_{m+1} \in B_N,\alpha_N=m,\Lambda_{N-1}) = P (icadas {m + 1} \in B_N) \cdot P(\alpha_N=m,\Lambda_{N-1}), $$ como sea necesario.