Construcción de un cúbico dado cuatro puntos

Question

Pregunta: ¿hay una manera más fácil de resolver este problema?

Supongamos que el polinomio $f(x)$ es de grado $3$ y satisface $f(3)=2$, $f(4)=4$, $f(5)=-3$, y $f(6)=8$. Determinar el valor de $f(0)$.

Mi Intento: empecé con el general cúbico $ax^3+bx^2+cx+d=f(x)$ y manualmente conectado en cada punto para obtener el siguiente sistema:$$\begin{align*} & 27a+9b+3c+d=2\\ & 64a+16b+4c+d=4\\ & 125a+25b+5c+d=-3\\ & 216a+36b+6c+d=8\end{align*}\tag1$$

Resolver el sistema con el útil de la matriz da las soluciones como $a=\frac 92,b=-\frac {117}2,c=245,d=-328$. Por lo tanto, $f(0)=-328$.

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A pesar de que yo (creo) se resolvió el problema correctamente, este método parece un poco "voluminoso", especialmente cuando todo se convierte en un mayor grado. Así que me pregunto si hay una forma más rápida para evaluar este tipo de problema.

Answer 1

Funciones lineales (grado $1$ polinomios) $p(x)$ han constante primeras diferencias $(\Delta^1f)(x)=f(x)-f(x-1)$, las funciones cuadráticas tienen constantes segundo diferencias $(\Delta^2f)(x)=(\Delta^1f)(x)-(\Delta^1f)(x-1)$, y así sucesivamente. Usted puede utilizar este hecho para encontrar $f(0)$ como se muestra a continuación. En primer lugar, a partir de los valores conocidos, calcular el avance de las diferencias (rojo) de izquierda a derecha, a continuación, copie la constante tercera diferencia (azul), y, finalmente, "calcular" a $f(0)$ (púrpura).

Answer 2

No es conceptualmente simple: hacer algo de álgebra lineal y polinomial de la aritmética. En lugar de un complejo sistema lineal a resolver $4$ mucho más simple de sistemas lineales. Es decir, resolver los siguientes problemas: encontrar polinomios $p(x), q(x), r(x), s(x)$ tal forma que: \begin{align} (a)\enspace&\begin{cases}p(3)=1\\p(4)=0\\p(5)=0\\p(6)=0\end{casos} y(b)\enspace&\begin{cases}q(3)=0\\q(4)=1\\q(5)=0\\q(6)=0\end{casos} y(c)\enspace&\begin{cases}r(3)=0\\r(4)=0\\r(5)=1\\r(6)=0\end{casos} y(d)\enspace&\begin{cases}s(3)=0\\s(4)=0\\s(5)=0\\s(6)=1\end{casos} \end{align} Entonces la solución es $$f(x)=2p(x)+4q(x)-3r(x)+8s(x).$$

Recordatorio:

Deje $K$ ser un campo, $\alpha\in K$, $f(x)$ un polinomio en $K[x]$. A continuación, $$f(\alpha)=0\iff x-\alpha\enspace\text{divides}\enspace f(x).$$

Answer 3

Usted puede encontrar directamente el polinomio $f$ por considerarlo como el $x$-valores disponibles de acuerdo:

Que $f(x)=a_0+a_1(x-3)+a_2(x-3)(x-4)+a_3(x-3)(x-4)(x-5)$ % constantes reales $a_0,a_1,a_2,a_3$. Tenga en cuenta que no tenemos que tener en cuenta el valor $x=6$ ya es una cúbica polinomial.

Entonces, $f(3)=2\Rightarrow a_0=2$

$f(4)=4\Rightarrow a_1=2$

$f(5)=-3\Rightarrow a_2=-\frac{9}{2}$

$f(6)=8\Rightarrow a_3=\frac{9}{2}$

Así, $f(x)=2+2(x-3)-\frac{9}{2}(x-3)(x-4)+\frac{9}{2}(x-3)(x-4)(x-5)$.

Creo que los cálculos son bastante simples de este modo como han elegido $f$ tales.