Una función que cambia signo infinitamente muchas veces, pero para que L ' Hôpital ' s regla obras

Question

He encontrado una prueba visual de la L'Hôpital de la regla por Giorgio Goldoni, que utiliza un adicional de hipótesis: $g'(x)$ (es decir, la función que está en el denominador) no puede cambiar su signo.

Mi pregunta es: es esto adicionales hipótesis reductora? Existe una función cuya primera derivada cambia de signo infinidad de veces, pero para el cual la regla De l'Hospital funciona?

Answer 1

Si el denominador cambia de signo infinitamente muchas veces como $x\to a$, luego por Darboux teorema va a ser $0$ en puntos arbitarily cerca de $a$. Eso significa que $\lim_{x\to a} \frac{f'}{g'}$ no existe, en absoluto, porque sólo puede existir si hay un $A\ni a$ tal que $A$ está abierto en el dominio de $\frac{f}{g}$, e $\frac{f'}{g'}$ está definido por todas partes en $A\setminus\{a\}$.

También, si $g'$ cambia de signo infinitamente a menudo, entonces también lo hace $g''$ si es que existe (y así sucesivamente por inducción), así que no importa en qué orden de L'Hôpital utilizamos, se producirá un error de trabajo. Por lo tanto, de orden superior, L'Hôpital no puede trabajar para tales funciones.

Answer 2

Actualización: Como resultó, mi respuesta no es correcta porque los $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ fracción no puede ser simplemente reducida, porque no se definen en los puntos donde $g(x)=0$ (ver comentarios). Sin embargo, no estoy quitando el post, porque puede servir como una demostración de cómo se puede hacer un error en la resolución de problemas como este.

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Sí, no existen como ejemplo, pero esto no significa que el $g'(x)\not=0$ condición es reductivo - es suficiente condición, pero no es necesario:

Considerar las funciones de $f(x)=-x*sin(\frac{1}{x})$ $g(x)=2*f(x)$ y asumen $a=0$.

Tenemos $\lim_{x \to 0}f(x)=0$ $\lim_{x \to 0}g(x)=0$

De un lado, obviamente, $$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{2*f(x)}=\frac{1}{2}$$

Ahora, $f'(x)=\frac{cos(\frac{1}{x})}{x}-sin(\frac{1}{x})$ $g'(x)=2*\frac{cos(\frac{1}{x})}{x}-2*sin(\frac{1}{x})$

Y aquí también tenemos $$\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{cos(\frac{1}{x})}{x}-sin(\frac{1}{x})}{2*\frac{cos(\frac{1}{x})}{x}-2*sin(\frac{1}{x})}=\frac{1}{2}$$

Lo que significa que De l'Hôpital regla funciona para esta función, sino $g'(x)$ cambia de signo de un número infinito de veces.