Esta pregunta se pide la simétrica caso, pero después de la consideración creo que cualquier compleja matriz cuadrada con cero traza es unitarily similar a una matriz diagonal cero. Esta respuesta a otra pregunta relacionada con la cuenta de una demostración de la no necesariamente unitaria afirmativa.
Es el unitaria caso conocido de verdadero o falso?
Para referencia, esto es lo que me hace pensar que es cierto:
Considerar el conjunto de valores de la diagonal de una pareja a la vez, decir $d_0$$d_1$. Tenemos la submatriz principal $$\pmatrix{d_0 & x \\ y & d_1}$$ El general unitario de transformación (para cualquier $c$ $s$ tal que $cc^* + ss^* = 1$) es \begin{align} & \pmatrix{c & s \\ -s^* & c^*}\pmatrix{d_0 & x \\ y & d_1}\pmatrix{c^* & -s \\ s^* & c} \\ = & \pmatrix{cd_0 + sy& cx+sd_1 \\ -d_0s^* + c^*y & -s^*x+c^*d_1}\pmatrix{c^* & -s \\ s^* & c} \\ = & \pmatrix{\vert c \vert^2d_0 +\vert s\vert^2d_1 + cs^*x + c^*sy & -csd_0 - s^2y + c^2x + csd_1\\ -c^*s^*d_0 +(c^*)^2y - (s^*)^2x + csd_1& \vert s \vert^2d_0 +\vert c\vert^2d_1 - c^*sy - cs^*x} \\ \end{align} La pregunta en este punto es si para algunos $c$ $s$ podemos tener el cero en la parte inferior derecha: $$\vert c \vert^2d_0 +\vert s\vert^2d_1 = (cs^*)x + (c^*s)y$$
Desde este punto puedo visualizar en el plano complejo.
El lado izquierdo es en términos de sólo magnitudes. Parametrización de la magnitud de la relación de $c$ $s$ da el valor en una línea entre los puntos de $d_0$$d_1$.
El lado derecho (lado derecho) es arbitraria en términos de complejos ángulo. Si $x$ $y$ son lo suficientemente grandes, entonces un cierto ángulo para $c^*s$ (y opuesto al ángulo para $cs^*$) da la igualdad. Los extremos de la LHS línea donde $c=0$ o $s=0$ coincide con el lado derecho cero. En el medio puntos en el camino entre el$d_0$$d_1$, el círculo de ángulo de posibilidades para el lado derecho crece, por lo tanto (si $x$ $y$ son lo suficientemente grandes) la posibilidad de que existe la igualdad con la elección adecuada de ángulo para$c$$s$.
Para pequeños valores de$x$$y$, un punto más cercano a cero es posible. Para $x=0$ $y=0$ un punto medio entre el $d_0$ $d_1$ está más cerca de cero debido a que el par puede ser elegido como tal debido a la cero de seguimiento. Por lo tanto un método iterativo que convergen a cero para todos los puntos posibles.
Como este argumento no es demasiado riguroso, me pregunto si el resultado es ya conocido? O sería digno de mi tiempo para formalizar el argumento?
