Una secuencia convergente que se define recursivamente

Question

Me gustaría obtener una pista sobre cómo establecer la convergencia de la siguiente secuencia:

$$a_{n+1}= a_n + \frac{\sqrt{\vert a_n \vert }}{n^2}$$

donde $a_1$ es arbitraria. Se trata de una sucesión creciente, por lo que si pudiera demostrar que está acotada por encima estaría hecho. Pero no sé cómo hacerlo. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Tenemos $a_n=\sum_{j=1}^{n-1}\frac{\sqrt{|a_j|}}{j^2}+a_1$ . Sea $M$ tal que $M>|a_1|+\frac{\pi^2}6\sqrt M$ . Supongamos que $|a_j|\leqslant M$ para todos $1\leqslant j\leqslant n-1$ . Entonces $$|a_n|\leqslant \sqrt M\sum_{j=1}^{n-1}\frac 1{j^2}+|a_1|<M.$$ Como $|a_1|<M$ hemos terminado.

Answer 2

Si $a_1\geq 1$ , tienes que $\sqrt{a_n}<a_n$ para todos $n$ . Por lo tanto, su secuencia $(a_n)$ está dominada por la secuencia $(b_n)$ , donde $$ b_{n+1}=b_n\left(1+\frac{1}{n^2}\right),\quad b_1=a_1. $$

¿Puede demostrar que $(b_n)$ ¿está acotado?

Si $a_1<1$ entonces la secuencia $(a_n)$ está limitada por $1$ o existe un índice $N$ tal que $a_N>1$ y se aplica el mismo argumento que antes.

Answer 3

Aunque no es tan clara como la respuesta de Davide Giraudo, puedes aplicar directamente alguna prueba de convergencia para establecer el resultado.

Al redefinir $a_1\leftarrow|a_1|$ podemos suponer que cada $a_n$ no es negativo. La convergencia es trivial cuando $a_1=0$ o $a_n\le1$ por cada $n$ . Por lo tanto, supongamos que $a_n>1$ cuando $n$ es grande. Sea $b_1=a_1$ y $b_{n+1} = a_{n+1}-a_n$ . Queremos demostrar que la serie $\sum_n b_n$ converge. Ahora, para un tamaño suficientemente grande $n$ y lo suficientemente pequeño $c>0$ tenemos \begin {align} \frac {b_{n+1}}{b_n} &= \frac {a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}} \\ &= \frac {(n-1)^2}{n^2} \sqrt { \frac {a_n}{a_{n-1}} \\ &= \frac {(n-1)^2}{n^2} \sqrt {1+ \frac {1}{ \sqrt {a_{n-1}}(n-1)^2} \tag {1} \\ &< \frac {(n-1)^2}{n^2} \sqrt {1+ \frac {1}{(n-1)^2}} \\ &= \frac {(n-1)}{n^2} \sqrt {(n-1)^2+1} \\ &< \frac {(n-1)}{n^2}(n-1+c). \end {align} Por lo tanto $n\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}-1\right)<-(2-c)+\frac{1+c}{n}<-1$ . Como la igualdad (1) implica que $\frac{b_{n+1}}{b_n}\rightarrow1$ cuando $n\rightarrow\infty$ , por Prueba de Raabe , $\sum_n b_n$ converge.