Creo que se podría hacer el argumento de que esto no sólo es posible, sino que se ha hecho, y 2300 años atrás, en eso! Me estoy refiriendo a la geometría Euclidiana. Pensamos de los números reales como la medición de las longitudes de los segmentos de línea; o, a un uso más Euclidiana lenguaje, que nos digan cuándo segmentos de línea son congruentes. En los Elementos de Euclides con frecuencia se refiere indirectamente a los números reales. Por ejemplo, la Proposición 3 del Libro I es:
Para cortar, desde el mayor de los dos desigual líneas rectas en un
línea recta igual a la de menos.
Usted puede pensar en esto como la explicación de cómo definir la resta. Dados dos segmentos de línea, Euclides nos muestra cómo encontrar un segmento de línea cuya longitud es igual a la diferencia de los dos segmentos de línea' de largo.
También puede definir la multiplicación y división de números reales si usted está autorizado a designar a un determinado segmento de línea como tener unidad de longitud. Usted puede hacer esto con triángulos similares; véase esta pregunta para una buena foto.
Seguro, usted puede definir enteros dentro de la geometría Euclidiana como múltiplos de una longitud determinada, pero esto no siempre es relevante. Los Elementos de la trata de los conceptos de semejanza de triángulos, área, etc., mucho antes de desplazarse a hablar acerca de los números enteros.
Se podría objetar que Euclides era muy nonrigorous por los estándares modernos, pero es posible formalizar la geometría Euclidiana en una manera rigurosa que no hace uso de los números reales o números naturales; ver los Axiomas de Hilbert.
Creo que es posible imaginar una sociedad existente con una noción de longitud, pero sin que nadie piensa en los términos de los números enteros. Por ejemplo, en lugar de contar la moneda en distintas unidades, como las monedas, la moneda podría ser de longitudes de cadena de algún tipo. Se puede argumentar que muchos animales tienen un sentido intuitivo de longitud sin la comprensión de los números enteros, así que en ese sentido yo diría que los números reales son los más noción primitiva.
Si desea construir los números reales, a decir de los axiomas de la teoría de conjuntos, que es otro asunto. Tal vez se podría hacer de alguna manera sin crear primero los números enteros, pero no estoy seguro de lo que habría de realizar. Euclides y de Hilbert tomar la más agradable de raíz de dar axiomas para la geometría sin mostrar que hay un modelo, el significado de un objeto matemático que satisface los axiomas.
