Sumar sobre todas las permutaciones

Question

Jugando con otra pregunta, obtuve esta igualdad por consideraciones probabilísticas. Supongo que hay una demostración sencilla, pero no soy fuerte en esto...

Sea $x_i >0$, $i=1,2 \cdots N$

Entonces

$$ \frac{1}{\displaystyle \prod_{i=1}^N x_i}=\sum_{\sigma}\prod_{s=1}^N \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sum_{i=1}^s x_{\sigma(i)}} $$

donde la suma es sobre todas las permutaciones de $\{ 1,2 \cdots N\}$

(Sospecho que la suposición $x_i > 0$ no es necesaria)

Answer 1

Agrupa las permutaciones en pares con el mismo $\{\sigma(1), \sigma(2)\}$ y agrega sus contribuciones. De los dos primeros factores, obtienes $$\frac{x_{\sigma(1)}+x_{\sigma(2)}}{x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)}(x_{\sigma(1)}+x_{\sigma(2)})}$$
y todos los demás factores son iguales para ese par. Por lo tanto, puedes reemplazar $\frac1{x_{\sigma(1)}}\frac1{x_{\sigma(1)}+x_{\sigma(2)}}$ en cada permutación por $\frac1{2x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)}}$ y no cambiarás la suma total.
Ahora agrupa las permutaciones en conjuntos de seis con el mismo $\{\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3)\}$. Cuando agregas sus contribuciones, los primeros tres factores se simplifican de la misma manera, por lo que obtienes la misma suma total al reemplazar los primeros tres factores por $\frac1{6x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)}x_{\sigma(3)}}$. Y así sucesivamente.