Demostrar

Question

Como en el tema, mi pregunta es probar $$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^3}{x_{i+1}^2}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^2}{x_{i+1}}$$We know that $ icadas {n+1} = icadas icadas de $ and $de %{1} {1}, icadas {2}, icadas {3},..., \in \mathbb{R}_{+}$ icadas {n}.
Como sospecho que sería cool si todos $x_{i}$ era iguales y la pregunta está marcada como difíciles, después de unas horas mi cerebro parado sin producir nada razonable por lo que te pido consejos cómo moverlo. Todo será apreciado. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: podemos derivar la desigualdad utilizando el twice,i.e de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.,

$$(\sum x_i)(\sum\frac{x_i^3}{x_{i+1}^2})\geq (\sum\frac{x_i^2}{x_{i+1}})^2$$

y

$$(\sum x_i)(\sum\frac{x_i^2}{x_{i+1}})\geq (\sum x_i)^2$$

Answer 2

$$3^n\frac{x_1^3}{x_2^2} + 2\cdot 3^{n-1}\frac{x_2^3}{x_3^2} +4\cdot 3^{n-2}\frac{x_3^3}{x_4^2}+\cdots+2^{n-1}\cdot3\frac{x_{n-1}^3}{x_n^2}+2^n\frac{x_n^3}{x_1^2}\ge (3^n-2^n)x_1$$

Por ponderado AM-GM. (nota que la suma de los coeficientes de la expresión para $\frac{3^n-2^n}{3-2} = 3^n-2^n$)

Añadir cyclicly y dividiendo por $3^n-2^n$, encontramos

$$\sum_{i=1}^n\frac{x_i^3}{x_{i-1}^2} \ge \sum_{i=1}^n x_i$$

Ahora nota que otra aplicación de AM-GM da $\frac{x_i^3}{x_{i-1}^2}+x_i \ge 2\frac{x_i^2}{x_{i-1}}$, tan la suma sobre todas las $i$,

$$\sum_{i=1}^n\frac{x_i^3}{x_{i-1}^2} + \sum_{i=1}^n x_i \ge \sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{x_{i-1}}$$

Entonces, $$2\sum_{i=1}^n\frac{x_i^3}{x_{i-1}^2} \ge \sum_{i=1}^n\frac{x_i^3}{x_{i-1}^2} + \sum_{i=1}^n x_i \ge \sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{x_{i-1}}$ $

Answer 3

Multiplique ambos lados por $$\prod_{i=1}^{n} x_i^2$ $ luego usar desigualdad de Muirhead.