Aproximación elemental para demostrar que un grupo de orden 9 es abeliano

Question

El truco aquí es proporcionar un elemental solución; explicaré lo que quiero decir.

Demuestra que un grupo de orden 9 debe ser abeliano. El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción.

De acuerdo, pero el problema se da como un ejercicio muy temprano en Herstein, antes de que se discuta nada de esto. Aparte de Lagrange y algunas consecuencias fáciles, todo lo que realmente tenemos que trabajar es el teorema del homomorfismo fundamental; de hecho, el ejercicio se incluye en el conjunto al final de la sección que introduce el teorema. Así que lo que busco es un enfoque que utilice sólo propiedades de grupo muy básicas y, especialmente, uno que aplique el teorema del homomorfismo.

Answer 1

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $9$ . Si hay un elemento de orden $9$ el grupo es cíclico, por lo que se supone que todos los elementos no identitarios tienen orden $3$ .

Dejemos que $x$ sea un elemento no identitario y que $y\in G-\langle x\rangle$ . Entonces los elementos de $G$ son $x^iy^j$ , donde $i, j\in \left\{0, 1, 2\right\}$ . Hemos terminado si mostramos $xy=yx$ . Considere $yx$ . Debe ser igual a uno de los $x^iy^j$ . Mediante la anulación, ambos $i$ y $j$ debe ser distinto de cero.

Si $yx=x^2y$ entonces $yxy^{-1}=x^2$ . Esto significa que $y^3xy^{-3}=x^8=x^2\neq x$ , una contradicción ya que $y^3=1$ . De la misma manera, $yx\neq xy^2$ . Ahora bien, si $yx=x^2y^2$ entonces $yx=x^{-1}y^{-1}=(yx)^{-1}$ , lo que significa que $yx$ tiene orden $1$ o $2$ claramente imposible.