Un problema de álgebra lineal

Question

Supongamos que $A$ es un $n$ $n$ matriz con las entradas $a_{ij}$ que $$|a_{ii}|>\sum_{k\neq i}|a_{ki}|$$ for $i=1,2,...,n$, prove $A$ es invertible.

Answer 1

Vamos a mostrar lo positivo de contra. Que $A$ ser una matriz que no es inversible (por lo tanto $^tA$ no es inversible). Que $x\neq 0$ tal que $^tAx=0$. Podemos encontrar $1\leq i\leq n$ tal que $\displaystyle|x_i|=\max_{1\leq k\leq n} |x_k|$. Tenemos $\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ki}x_k = 0$ por lo tanto, $\displaystyle |a_{ii} x_i| =\left|\sum_{k\neq i}a_{ki}x_k\right| \leq |x_i|\sum_{k\neq i}|a_{ki}|$. Tenemos $\displaystyle |a_{ii}|\leq \sum_{k\neq i}|a_{ki}|$.