Definiciones del Hessian en geometría de Riemann

Question

Me pregunto ¿existe alguna forma rápida de ver las siguientes dos definiciones del Hessian coinside con cada othere sin usar coordenadas locales?

• $\operatorname{Hess}(f)(X,Y)= \langle \nabla_X \operatorname{grad}f,Y \ \rangle$; y
• $\operatorname{Hess}(f)(X,Y)=X (Yf) - (\nabla_XY) f$.

Answer 1

Esta pregunta surge a partir de las dos últimas ecuaciones en la Wikipedia el artículo. Este es un problema común en la geometría diferencial, es decir, de muchos y diferentes notaciones mezclado en un solo lugar.

La definición se indica claramente en el artículo antes mencionado. La Hessiana de una función suave $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ en un arbitrario suave colector con una arbitraria de conexión de $\nabla$ es el iterado derivada covariante de la función $f$, que es $$ \operatorname{Hess}(f):=\nabla{\nabla{f}} $$ de modo que $\operatorname{Hess}(f) \in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$, en otros términos es una $(0,2)$-tensor de campo en $M$. Para cualquiera de los dos campos vectoriales $X,Y$ $M$ tenemos un suave real, la función con valores de $\operatorname{Hess}(f)(X,Y)=\nabla{\nabla{f}}\,(X,Y)$ sobre el colector $M$. Todo lo que sabemos acerca de esta función es que es bilineal.

Dada una conexión de $\nabla$ sabemos cómo calcular $\nabla{f}\;$ para cualquier función suave, y $\nabla_X{Y}\;$ para cualquiera de los dos (suave) campos vectoriales $X,Y$. Esta regla es lineal en la ranura $X$ y satisface un producto de la regla en la ranura $Y$. Para los tensores de todos los otros tipos covariantes derivados se calcula mediante el requisito de que los viajes con contracciones y satisface la regla del producto con respecto al producto tensor.

En particular, $\nabla{f}\equiv \operatorname{d}f\;$, por definición, y $$ \nabla_Y{f}=\nabla{f}(Y)=\operatorname{d}f(Y)=Y\f \etiqueta{1} $$ Esto también puede ser visto como $$ \nabla{f}(Y)=\nabla{f}\cdot Y=\mathcal{C}(\nabla{f} \otimes Y) $$ donde $\mathcal{C}$ indica que la contracción del operador (así como el símbolo de $\cdot$ no).

Ahora con el declarado propiedades de la derivada covariante podemos escribir el siguiente cálculo $$ \begin{align} \nabla_{X}(\nabla{f}(Y)) &= \mathcal{C}((\nabla_X \nabla{f} \otimes Y) + \nabla{f} \otimes \nabla_X{Y} \\ &= \nabla{\nabla{f}(X,Y)} + \nabla_{\nabla_X{Y}}{f} \end{align} $$ La reescritura de este uso de los convenios (1), llegamos a la $$ \nabla{\nabla{f}}(X,Y)=X(Y\,f))-(\nabla_X{Y})f \etiqueta{2} $$

Ahora recordemos que en la geometría de Riemann hemos canónica isomorphisms entre la tangente y la cotangente espacios (llamados musical isomorhphisms), de modo que podamos identificar $$ \operatorname{d}f \equiv \operatorname{grad}(f) $$ Sin embargo, uno debe tener en mente que esto realmente significa $$ \operatorname{grad}(f) = \operatorname{d}f^\# $$ que, por definición, es un único vector que $$ g(\operatorname{grad}(f), Y)=g(\operatorname{d}f^\#, Y) = \operatorname{d}f(Y) = Y\,f $$

Otra característica de la geometría de Riemann es que utilizamos la de Levi-Civita de conexión por defecto.

Ahora el uso de (2) es fácil de completar lo que @Jason se sugiere: $$ \begin{align} \nabla{\nabla{f}}(X,Y) &= X(g(\operatorname{grad}(f), Y)) - g(\operatorname{grad}(f), \nabla_X{Y}) \\ &= g(\nabla_X \operatorname{grad}(f), Y) + g(\operatorname{grad}(f), \nabla_X{Y}) - g(\operatorname{grad}(f), \nabla_X{Y}) \\ &= g(\nabla_X \operatorname{grad}(f), Y) \end{align} $$ quod brindamos demonstrandum (QED).

Answer 2

Sugerencia: $X\langle \operatorname{grad} f, Y\rangle = \langle \nabla_X \operatorname{grad f}, Y\rangle + \langle \operatorname{grad} f, \nabla_X Y\rangle$. Ahora use la definición de $\operatorname{grad} f$.