La parte conectada en arco de $\mathbb R^2$

Question

Esta es una pregunta que comparto: Demostrar que si $D$ es un subconjunto contable de $\mathbb R^2$ (siempre con su topología habitual) entonces $X=\mathbb R^2 \backslash D $ está conectada por arcos.

Answer 1

SUGERENCIA: No sólo es $\Bbb R^2\setminus D$ conectados en forma de arco, pero se pueden conectar dos puntos cualesquiera con un arco formado por un máximo de dos segmentos de línea recta.

Supongamos que $p,q\in\Bbb R^2\setminus D$ . Hay innumerables líneas rectas que pasan por $p$ y sólo un número contable de esas líneas se cruzan $D$ por lo que hay un número incontable de líneas rectas que pasan por $p$ que no golpean $D$ . Del mismo modo, hay innumerables líneas rectas que pasan por $q$ que no golpean $D$ . ¿Puedes terminarlo desde aquí?

Answer 2

Dos puntos cualesquiera en $\mathbb R^2\setminus D$ están conectadas por un número incontable de arcos de círculos de los cuales sólo un número contable de ellos puede intersecarse $D$ .

(Esto es una adaptación de las soluciones de uno de mis alumnos a un problema de examen relacionado).

Answer 3

Añadir una respuesta para abordar las cuestiones planteadas en el mensaje de recompensa.

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Dejemos que $p, q$ sean dos puntos distintos en $\mathbb{R}^2 \setminus D$ . Si el segmento de línea recta que une $p$ a $q$ se encuentra en $\mathbb{R}^2 \setminus D$ entonces ya está hecho: una posible parametrización de la trayectoria es $\gamma(t) = (1 - t)p + tq$ , $0 \leq t \leq 1$ .

Entonces, supongamos que lo anterior no funciona. Ahora, observa que hay incontables e infinitas rectas que pasan por el punto $p$ . Desde $D$ es sólo contable, en particular hay incontables e infinitas líneas rectas que pasan por $p$ y no se cruzan $D$ . Fijar cualquier línea de este tipo $L_1$ . Una vez más, hay infinitas líneas rectas que pasan por $q$ que también se cruzan $L$ . En particular, existen infinitas líneas de este tipo que tampoco se cruzan $D$ . Fijar cualquier línea de este tipo $L_2$ .

Supongamos que $L_1$ y $L_2$ se cruzan en el punto $r$ . Entonces, puedes tomar el camino que une $p$ y $q$ para ser el que comienza en $p$ , atraviesa la línea $L_1$ al grano $r$ y luego atraviesa la línea $L_2$ al grano $q$ . Una posible parametrización de este camino es $$ \gamma(t) = \begin{cases} (1 - 2t)p + 2tr, & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2};\\ (2 - 2t)r + (2t - 1)q, & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1. \end{cases} $$ Tenga en cuenta que el lema de pegado muestra que $\gamma$ es efectivamente continua.

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En cuanto a cómo se llega a estas parametrizaciones específicas, primero hay que conocer la ecuación paramétrica de una recta. Por ejemplo, véase Forma paramétrica de una línea para un rápido repaso. En segundo lugar, hay que ajustar el parámetro $t$ escalando y traduciendo para que se sitúe en el rango "correcto" para los propósitos de cada uno. Este es otro cambio lineal, por lo que no debería ser demasiado difícil.

Pero, para seguir insistiendo en el tema, he aquí una forma de calcular mentalmente la parametrización $\gamma$ en el segundo caso. Para unir los puntos $p$ y $r$ queremos variar $t$ de $0$ a $1/2$ de tal manera que en $t = 0$ estamos en $p$ y en $t = 1/2$ estamos en $r$ . Así, si la parametrización de esta parte es como $\gamma(t) = f(t)p + g(t)r$ , entonces queremos $f(0) = 1$ y $f(1/2) = 0$ y también queremos $g(0) = 0$ y $g(1/2) = 1$ . ¿Podemos encontrar funciones lineales $f(t) = \alpha_1 t + \beta_1$ y $g(t) = \alpha_2 t + \beta_2$ que cumplan estas condiciones? Claro, sólo hay que sustituir esos valores de $(t, f(t))$ y $(t, g(t))$ que escribimos para $t = 0, 1/2$ en las respectivas ecuaciones para resolver $\alpha_i, \beta_i$ . Repita el proceso para la línea que une $r$ a $q$ y ya está.

Answer 4

Bien, voy a intentar aclarar la respuesta de Brian M. Scott en lugar de escribir una respuesta totalmente diferente.

Dejemos que $p,q\in \mathbb{R}-D$ . Entonces, defina $A:=\{\text{ Lines Through }p\}$ , $B:=\{ \{\text{ Lines through }q\}$ .

Se podrían escribir las definiciones de estos conjuntos de manera más formal si se desea, pero el significado es claro. Afirmo lo siguiente: $$ \exists l\in A, \text{ such that } l\cap D=\emptyset. $$ Asimismo, $$ \exists n\in B, \text{ such that } l\cap D=\emptyset. $$ Entendamos por qué esto debe quedar claro. Ahora definamos un mapeo $m:\mathbb{R} \to A$ por $m(x):=$ la línea en $A$ con pendiente $x$ . Este mapeo es claramente $1-1$ y en (casi ver abajo*), como cualquier línea que pasa por un punto $p$ está determinada por su pendiente, y cualquier pendiente determina unívocamente una línea que pasa por $p$ . Se podría formalizar más escribiendo cualquier línea a través de $p$ en forma de pendiente puntual, pero eso lo dejo al lector.

Un argumento similar se aplica a $B$ Por lo tanto $||A||=||B||=||\mathbb{R}||$ .

Ahora mostremos que hay líneas en $A$ y $B$ que no contienen puntos en $D$ . definir un mapa $\phi:D\to A\times B$ , por $\phi(d):=\{(l,m)\in A\times B| d=l\cap m\}$ . Es decir, cada punto $d\in D$ se asigna al par de líneas en $A$ y $B$ que se reúnen en $d$ . Este mapeo es $1-1$ ya que dos puntos cualesquiera determinan una línea única. Por la suposición $D$ es contable, por lo que $\phi$ no puede ser onto por lo que existe un par de líneas, $(l^*,m^*)$ que no contienen ningún punto en $D$ . Esto sigue como $A\times B- \phi(D)\neq \emptyset$ .

tenemos un camino lineal a trozos $p \to l^*\cap m^* \to q$ . QED.

El quid de la cuestión, aquí es donde afirmamos que el mapeo $\phi$ no puede ser sobre, dado el supuesto de que $D$ era contable.

Una pequeña nota, el mapa $m$ no está del todo bien, ya que la línea vertical que pasa por $p$ tiene una pendiente indefinida. Sin embargo, esto no perturba el argumento ya que la idea principal es que $A$ y $B$ son ambos incontables. También podríamos eludir esto tomando un mapeo de los reales extendidos.

Answer 5

Por supuesto, esta noción puede generalizarse para una dimensión mayor. Porque, se puede utilizar el mismo argumento (como Brian/Bob) para $\mathbb{R^n}$ . Tenga en cuenta que, en $\mathbb{R^n}$ también tenemos líneas rectas y esferas.