Encontrar el # de $1000$-ésimo decimal de $\sqrt{1111...111}$

Question

Como yo estaba limpiando mi escritorio, me encontré con mi examen de calculo desde hace casi un año. Recuerdo que hubo sólo una tarea extra que requiere ya sea un pelín más ingenio, ya sea un poco más tiempo. Va como esto:

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$$ \text{Find the 1000-th decimal of }\underbrace{\sqrt{1111...111}}_{1998 \text{ times}} . $$

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Recuerdo notar $11 = \frac{10^2-1}{9}$, construcción de un caso general en esta observación y representación vía serie utilizando el teorema del binomio, pero nada realmente me llevó a la respuesta real.

¿Alguna idea?

Answer 1

Para obtener $$ \frac13\sqrt{10^{1998}-1}=\frac13·10^{999}·\sqrt{1-10^{-1998}} $$ y por la serie binomial $$ \sqrt{1+x}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac{5}{128}x^4\pm... $$ es sólo los tres primeros términos que influyen en los dígitos primeros 4000 o así a\begin{align} \frac13·10^{999}·(1-5·10^{-1999}-1.25·10^{-3997}-…) &=\frac13·10^{999}·0.\underbrace{99…9}_{1998}4\underbrace{99…9}_{1997}874999… \\ &=10^{999}·0.\underbrace{33…3}_{1998}1\underbrace{66…6}_{1997}624999 \end {Alinee el} te dejo de donde viene el 1000 dígitos decimales después del punto de mentir. Para comparar:\begin{align} \sqrt{999999}&=999.99949999987499993749996093747265622949217138670565794807… \\ \sqrt{111111}&=333.33316666662499997916665364582421874316405712890188598269… \\ \sqrt{99999999}&=9999.99994999999987499999937499999609374997265624979492187338… \\ \sqrt{11111111}&=3333.33331666666662499999979166666536458332421874993164062446… \end {Alinee el}