Encuentre todos $f(x)$ si $f(1-x)=f(x)+1-2x$ ?

Question

Para encontrar una solución he supuesto que $f$ es par y lo reescribió como $f(x-1)-f(x)+2x=1.$ Con sólo pensar en una solución, pude concluir que $f(x)=x^2$ es una solución. Sin embargo, estoy seguro de que hay más soluciones, pero no sé cómo encontrarlas.

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $f(x)-x=f(1-x)-(1-x),$ poner $f(x)-x=g(x)$

Estoy tentado de añadir esto :

(Como ha señalado IvanLoh), si necesitamos $f(x)$ en polinomios

Como $f(x)-f(1-x)=2x-1$ que es $O(x^1), f(x)$ puede ser como máximo cuadrática

Dejemos que $f(x)=ax^2+bx+c$

$\implies 2x-1=f(x)-f(1-x)=ax^2+bx+c-\{a(1-x)^2+b(1-x)+c\}$ $\implies 2x-1=-(a+b)+2(a+b)x^2$

Igualando las constantes $a+b=1$

e igualando los coeficientes de $x,a+b=1\implies b=1-a$

Por lo tanto, cualquier $f(x)=ax^2+(1-a)x+c$ satisfará la condición dada

Answer 2

Una pista: Dejemos que $f(x)=x^2+g(x)$ . ¿Qué propiedades debe tener $g(x)$ ¿tiene?

Answer 3

Aquí hay una prueba que encuentra todo $\;f\;$ para el que se mantiene esta igualdad, como preguntaba el OP (hace tiempo). $% \require{begingroup} \begingroup \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\Ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\then}{\Rightarrow} \newcommand{\when}{\Leftarrow} %$ Lo tratamos como un problema para tratar de simplificar la igualdad, y para tratar de reducirla a lo esencial.

Calculamos, para cada $\;f \in \mathbb R \to \mathbb R\;$ , $$\calc \tag{0} \langle \forall x :: f(1-x) = f(x)+1-2x \rangle \op{\tag{*}\equiv}\hint{arithmetic -- to introduce symmetry} \langle \forall x :: f(1-x)-(1-x) = f(x)-x \rangle \op\equiv\hint{abbreviate $ \N - g(x) = f(x)-x\N-; $} \langle \forall x :: g(1-x) = g(x) \rangle \op\equiv\hint{substitute $ \;x := \tfrac 1 2 +x\; $ -- to introduce symmetry} \langle \forall x :: g(\tfrac 1 2 -x) = g(\tfrac 1 2 +x) \rangle \op\equiv\hint{abbreviate $ \h(x) = g(x+) \tfrac 1 2)\; $} \langle \forall x :: h(-x) = h(x) \rangle \op\equiv\hint{definition of even} h\text{ is even} \endcalc$$

Por lo tanto, si $\;h\;$ es una función par, entonces (y sólo entonces) $\;f(x) = g(x)+x = h(x-\tfrac 1 2)+x\;$ satisface $\Ref{0}$ .

Un ejemplo de esta función par es $\;h(x) = ax^2 + c\;$ , lo que da $\;f(x) = ax^2 + (1-a)x + c + \tfrac a 4\;$ , esencialmente laboratorio bhattacharjee de la respuesta. Y $\;f(x) = \cos(x- \tfrac 1 2) + x\;$ es otra respuesta válida.

Observe cómo el primer paso $\Ref{*}$ es realmente la más creativa, y las otras son más o menos forzadas por el deseo de encontrar simetría.

$% \endgroup %$