Como AsalBeagDubh parece estar muy ocupado, voy a tratar de dar una respuesta.
Si $D^2>0$,$\dim\phi(S)=2$. De lo contrario,$D^2=0$$\dim\phi(S)= 1$.
Prueba. Deje $D'\in |D|$, vamos a $H$ ser un hyperplane de $\mathbb P^N$ que no contengan $\phi(S)$. Como $\phi^*H \sim D$ por la construcción de $\phi$, por la proyección de la fórmula (véase Hartshorne, Apéndice a),
$$ \phi_*D'. H=D'.\phi^*H=D^2.$$
Por lo tanto:
(i) si $D^2>0$, $\phi(D')$ no es finito (varían $H$, ver el argumento de abajo con $H'$), por lo tanto $\phi(D')$ tiene dimensión $1$;
(ii) si $D^2=0$, $\phi(D')$ es finito porque $H$ ha positiva de la intersección de número de curva en $\mathbb P^N$.
(Aquí se puede notar que la $D^2=\phi_*D'.H$ es siempre no negativo debido a $H$ es suficiente.)
Ahora supongamos $\dim\phi(S)=2$. A continuación, $S\to \phi(S)$ es un surjective de morfismos de irreductible variedades de la misma dimensión, de modo que fuera un codimension $1$ subconjunto cerrado, $\phi : S\to \phi(S)$ es cuasi-finito. Esto implica que $\dim\phi(C)=1$ para todos, pero un número finito de curvas de $C$$S$. Esto excluye el caso (ii) debido a que el $D'$'s de la cubierta $S$, lo $D^2>0$.
Si $\dim\phi(S)=1$, $\phi(D')$ es finito. Deje $H'$ ser un hyperplane (hipersuperficie si el campo de tierra es finita, pero ciertamente podemos ampliar el campo de tierra para algebraica de cierre) que no cumplan $\phi(D')$. Entonces
$D^2=\phi_*D'.H'=0$.
Finalmente, $\dim\phi(S)=0$ no puede suceder, porque de lo contrario $\phi(S)$ es un solo punto, y, a continuación,$D\sim 0$, lo que significaría que $|D|$ está vacía.
