Necesito ayuda con una diferencia aparentemente simple.
$$ x\frac {d^{2}y} {dx^{2}}+2y=0 $$
$$ \rightarrow \frac {d^{2}y} {dx^{2}}+2\frac {y} {x}=0 $$
$v= (\frac {y} {x})$ la sustitución no está funcionando como finalmente se muestra: $$ xv''+v'+2v=0 $$
que no es más fácil. Esa variable hace que me suba la presión arterial.
Sé que estoy mirando más allá de algo estúpido.
No te sientas mal por no ser capaz de resolver esto. Muchas (quizás, la mayoría) de las ecuaciones diferenciales de fácil expresión no pueden resolverse en términos de funciones elementales. A pesar de esto, teoremas estándar de existencia y unicidad a menudo garantizan la existencia de soluciones. Cuando la solución de una clase importante de ecuaciones diferenciales no puede expresarse en términos de funciones elementales, damos un nombre a la solución, en este caso, las funciones de Bessel. Las funciones generadas de este modo suelen llamarse funciones especiales .
Muchos paquetes de software matemático conocen las funciones especiales. Por ejemplo, si escribes esta ecuación diferencial en WolframAlpha, obtendrás todo tipo de información sobre la solución.
Texto introducido: x*y'' + 2y = 0
La salida:
Obsérvese que la solución se expresa en términos de funciones denominadas $J_1$ y $Y_1$ , llamado Funciones de Bessel . Además, a pesar de que no hay una fórmula sencilla, se generan varias parcelas.
Pensé que a la página de wolfram alpha sobre la función de Bessel le faltaba definición, por lo que voy a proporcionar la derivación completa de la misma, para que los lurkers como yo puedan obtener una revisión de vez en cuando, y ya que algunas aplicaciones requieren la notación completa.
Comenzando con una función similar a: $$ y''+f(x)y'+g(x)y=0 $$ Se buscan dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ que satisface la ecuación diferencial y $y$ es la expresión.
A partir de $y$ : $$ y=x^{a}J_{\pm}(bx^{c}) = x^{a}J(z); z=bx^{c} $$
Tomando derivadas de $x$ en el que $J$ es una función de $z$ Por lo tanto, se aplica la regla de la cadena: $$ \frac {dy} {dx}=ax^{a-1}J+x^{a}(\frac {dJ} {dz})(\frac {dz} {dx}) $$ $$ \Rightarrow \frac {dy} {dx}=ax^{a-1}J+x^{a}(\frac {dJ} {dz})bcx^{c-1} $$ $$ \Rightarrow \frac {dy} {dx}=ax^{a-1}J+bcx^{a+c-1}(\frac {dJ} {dz}) $$ Ahora tomando la segunda derivada $$ \Rightarrow \frac {d^{2}y} {dx^{2}}=a(a-1)x^{a-2}J+bcx^{a+c-2}(2a+c-1)\frac {dJ} {dz} + b^{2}c^{2}x^{a+2c-2}\frac {d^{2}J} {dz^{2}} $$ Ahora reemplaza $\frac {d^{2}} {dz^{2}}$ en la última ecuación en la ecuación diferencial $$ J''=-(\frac {1} {z}J'+(1-\frac {m^{2}} {z^{2}})J) $$
Determina ahora $f(x)$ y $g(x)$ tal que $$ y''+f(x)y'+g(x)y=0 $$ $$ \Rightarrow [a(a-1)x^{a-2}J+bcx^{a+c-2}(2a+c-1)\frac {dJ} {dz} + b^{2}c^{2}x^{a+2c-2}\frac {d^{2}J} {dz^{2}}]+f(x)[ax^{a-1}J+bcx^{a+c-1}(\frac {dJ} {dz})]+g(x)[x^{a}J(z)]=0 $$
$$ \Rightarrow [a(a-1)x^{a-2}J+bcx^{a+c-2}(2a+c-1)\frac {dJ} {dz} + b^{2}c^{2}x^{a+2c-2}[-\frac{1}{bx^{c}}(\frac {dJ} {dz})-(1-\frac {m^{2}}{bx^{c}})J]+f(x)[ax^{a-1}J+bcx^{a+c-1}(\frac {dJ} {dz})]+g(x)[x^{a}J(z)]=0 $$
Y agrupar todos los términos en dos términos, es decir $$ ()\frac {dJ} {dz}+()J=0 $$
Con cada juego $()=0$
Esto da: $$ f(x)=\frac {(1-2a)} {x} $$ y $$ g(x)=-(\frac {c^{2}m^{2}-a^{2}} {x^{2}})+b^{2}c^{2}x^{2c-2} $$
Y así, una vez simplificada, la sustitución revela la famosa función de Bessel: $$ \therefore \frac {d^{2}y} {dx^{2}}+\frac {1-2a} {x}\frac {dy} {dx}-[(\frac {c^{2}m^{2}-a^{2}} {x^{2}})+b^{2}c^{2}x^{2c-2}]y=0 $$ con soluciones: $$ y=k_1x^{a}J_m(bx^{c}+k_2x^{a}(bx^{c}) $$
Por lo tanto, dado el DE:
$$ xy''-2y=0 $$
comparando la función de Bessel, podemos ver que $$ 1-2a=0; $$ $$ b^{2}c^{2}=2; $$ $$ c^{2}m^{2}-a^{2}=0; $$ $$ 2c-2=-1 $$
Establece un sistema de ecuaciones con ellas, resuelve las constantes y ponlas en la solución de Bessel: $y=k_1x^{a}J_m(bx^{c}+k_2x^{a}(bx^{c})$ para la respuesta
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