Lógica de orden primera - ¿por qué necesitamos símbolos de función?

Question

El uso de los símbolos de la función en primer orden la lógica nos obliga a definir a los "términos" de forma inductiva, lo que hace que muchas de las pruebas más y mucho más tedioso. Por supuesto, los símbolos de la función de simplificar al intentar utilizar de primer orden de la lógica para describir las cosas, sino en la superficie a mí me parece que podría ser reemplazado por completo por las relaciones: en Lugar de $f$ el uso de una relación $R_f$ de manera tal que en lugar de escribir $\varphi(f(x))$ escribir ($\forall x\exists! y(R(x,y))\wedge R(x,y)\wedge\varphi(y)$. Ahora uso $f(x)$ como una notación abreviada, así que usted puede utilizarlo en la "vida real", sino evitar que en las pruebas.

Supongo que me falta algo de profundidad neccecity aquí, pero ¿qué?

(Lo mismo va para la constante de símbolos, pero que en realidad no complicar las cosas como símbolos de la función de hacer).

Answer 1

Siempre se puede tomar un primer orden de la teoría con constantes y símbolos de función y reemplazarlo con una teoría utilizando sólo la relación de los símbolos. Esto es a costa de complicar la teoría, ya que si, por ejemplo, $R$ es el símbolo relacional que representa el binario funcional símbolo $f$, necesitamos un axioma de la forma $$( \forall x ) ( \forall y ) ( \exists z ) ( \forall u ) ( R(x,y,u) \leftrightarrow u = z ).$$ But since $R$ and $f$ son definibles el uno del otro, no sería una traducción natural de los teoremas de una teoría a la otra.

Otro gasto es la declaración de ciertos teoremas de modelo de la teoría. Por ejemplo, una teoría de la $T$ se dice que admitir la eliminación de cuantificadores si para cada fórmula $\phi (x_1 , \ldots x_n )$ no es un cuantificador fórmula libre de $\psi (x_1 , \ldots x_n )$ tal que $$T \vdash (\forall x_1 ) \cdots ( \forall x_n ) ( \phi \leftrightarrow \psi ).$$ El ejemplo básico de una teoría de la admisión de la eliminación de los cuantificadores es la teoría de la real campos cerrados. Tenga en cuenta que si el subyacente del lenguaje no tiene la constante de símbolos, entonces no hay ningún cuantificador libre de penas, y por tanto no hay teoría sin la constante de símbolos puede admitir la eliminación de cuantificadores. Habría que modificar la definición de forma que sólo se refieren a esas fórmulas $\phi$ con al menos una variable libre. Uno puede mostrar que este iba a ser fieles, pero también es un poco menos definición natural.

Answer 2

Formalmente, tienes toda la razón: los símbolos de la función podría ser "definido" por el uso de las relaciones. Pero la noción de condiciones de hacer una gran cantidad de cosas mucho más natural.

Entre las características que nos gustaría tener en nuestra lógica de primer orden es que la estructura de una prueba de un enunciado matemático en la teoría de FOL (es decir, la teoría de grupos) estructuralmente los espejos de la prueba de lenguaje natural de las matemáticas. En el lenguaje natural de las matemáticas, sin embargo, podemos utilizar las funciones (y operaciones) todo el tiempo, y con frecuencia es muy natural pensar de ellos como de las relaciones. Este es todavía un poco esponjoso, aunque. Un buen ejemplo de cómo este superficies en lógica es cuando trabajamos en una escuela primaria de la moda con el modelo de incrustaciones. Trabajando con los términos en que contexto te permite de forma muy natural explotar la perspectiva de que los objetos de un modelo surgir -- son "creados" si-por el cierre en virtud de las funciones y operaciones. Sin términos en el idioma, se hace muy difícil de emplear ese tipo de razonamiento en la mediación entre la semántica y la sintáctica problemas.