Que $R=k[t]/(t^2)$ y $S=k[t,x]/(t^2,tx^3+tx^2-x^2-x)$, $k$ es un campo. Debo demostrar que $S$ es integral $R$ y que $S=R\oplus R$.
Alguna ayuda sobre eso... Gracias de antemano...
Respuesta
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Observe que $S = R[x]/((tx-1)(x^2+x))$. Puesto que es nilpotente en $t$ $R$ $tx-1$ es una unidad, así que de hecho $S = R[x]/(x^2+x) = R[x]/(x(x+1)) \cong R[x]/(x) \oplus R[x]/(x+1)$, en chino del resto (ya que $(x), (x+1)$ son comaximal). $R[x]/(x) \cong R \cong R[x]/(x+1)$, Por lo que esto muestra $S \cong R \oplus R$. Así $S$ es un finito $R$ módulo, por lo que es parte integral de la extensión $R \subseteq S$ (alternativamente, $x \in S$ satisface el % polinomio monic $f(z) = z^2 + z$$R$).
