El valor de la integral $\int_0^2\left(\sqrt{1+x^3}+\sqrt[3]{x^2+2x}\:\right)dx$

Question

El valor de la integral definida $$\int\limits_{0}^{2}\left(\sqrt{1+x^3}+\sqrt[3]{x^2+2x}\:\right)dx$$ is $% $ $(A)\,4 \quad(B)\,5 \quad (C)\,6 \quad(D)\,7$

Mi intento:

He probado usando $\int\limits_{0}^{a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}f(a-x)dx$ pero no funciona. Traté de poner $x^3+1=\tan^2\theta$, también no su trabajo.

¿Puede alguien ayudarme a solucionar este problema?

Answer 1

Consejo. Estrictamente está aumentando la función $ x \mapsto f(x):=\sqrt{1+x^3}$ $[0,2]$, entonces usted puede utilizar la siguiente propiedad:

\tag1 $$ \int_a^bf(x)dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx=b{f(b)}-a{f(a)} $$

(aquí $ x \mapsto f^{-1}(x+1)=\sqrt[3]{(x+1)^2-1}=\sqrt[3]{x^2+2x},\quad f^{-1}(0+1)=0,\,f^{-1}(2+1)=2$) la obtención de

$$I=2\sqrt{1+2^3}-0\sqrt{1+0^3}=\color{red}{6}$$

como sugiere.

Answer 2

Que $f(x)=\sqrt{1+x^3}$. $\\$ Mostrar fácilmente que $f^{-1}(x+1)=\sqrt[3]{x^2+2x}$.

Se le pide encontrar $$\int_0^2 f(x)dx +\int_0^2 f^{-1}(x+1)dx \\ =\int_0^2f(x)dx+\int_1^3 f^{-1}(x)dx \\ =\int_0^2f(x)dx+\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)dx$ $. Haz un dibujo.