¿Cómo mostrar que un ultrafiltro libre no puede tener un infinito pseudointersection?

Question

El siguiente texto es una cita de p.180 de Halbeisen el libro de Combinatoria, Teoría de conjuntos. Este libro también está disponible en el sitio web de un curso impartido por el autor. (Como se mencionó en el Asaf comentario, también está disponible en la web del autor.)

Para dos conjuntos de $x,y\subseteq\omega$ nos dicen que $x$ es casi contenidas en $y$, denotado $x\subseteq^*y$ si $x\setminus y$ finito.

Un pseudo-intersección de una familia de $\mathscr F \subseteq [\omega]^\omega$ de los infinitos subconjuntos de a $\omega$ es un subconjunto infinito de $\omega$ que es casi contenidas en cada miembro de la $\mathscr F$.

Además, una familia $\mathscr F \subseteq [\omega]^\omega$ tiene el fuerte finito intersección de la propiedad (sfip) si cada subfamilia finita tiene una infinidad de intersección.

Por ejemplo, cualquier filtro de $\mathscr F \subseteq [\omega]^\omega$ tiene el sfip, pero no ultrafilter en $[\omega]^\omega$ tiene una pseudo-intersección.

• ¿Cómo podemos demostrar que un ultrafilter no tenemos una infinita pseudointersection?

Este hecho se utiliza para mostrar que el $\mathfrak p$ está bien definido y $\mathfrak p \le \mathfrak c$, donde el pseudo-intersección de número de $\mathfrak p$ es el más pequeño de cardinalidad de cualquier familia $\mathscr F \subseteq [\omega]^\omega$ a que la sfip pero que no tiene un pseudo-intersección.

Voy a publicar mi prueba a continuación; pero me pregunto si hay diferentes maneras para mostrar esto.

Answer 1

Deje $\mathscr F$ ser arbitraria ultrafilter, que no contiene finito de conjuntos.

Supongamos que $A$ es un infinito pseudointersection de $\mathscr F$.

Luego tenemos a $A\subseteq^* G$ por cada $G\in\mathscr F$.

Desde $\mathscr F$ es un ultrafilter, tendremos a $A\in\mathscr F$ o $\omega\setminus A\in\mathscr F$. Pero $\omega\setminus A$ no puede ser en $\mathscr F$, ya que el $A\setminus (\omega\setminus A)=A$ es infinito y por lo tanto $A\not\subseteq^* \omega\setminus A$.

Así que tenemos que $A\in\mathscr F$.

Ahora denotar $A=\{a_n; n\in\omega\}$ y deje $B=\{a_{2n}; n\in\omega\}$$C=\{a_{2n+1}; n\in\omega\}$. Desde $A=B\cup C$ $\mathscr F$ es un ultrafiter; uno de los conjuntos $B$, $C$ pertenece a $\mathscr F$. Pero ni $A\subseteq^* B$ ni $A\subseteq^* C$ sostiene, la cual produce una contradicción.

Answer 2

Que $\mathcal U$ ser un ultrafiltro en $\omega$, y que $x$ ser una pseudo-intersección de $\mathcal U$. Por otra parte, que $y$ ser tal que ambos él y su complemento contienen infinitamente muchos elementos de $x$ (por ejemplo, $y$ podría ser tu $B$). Entonces, o $y$ $\omega\backslash y$ están en $\mathcal U$, lo $x\backslash y$de % o $x\backslash (\omega\backslash y) = x\cap y$ es finito, que es imposible.