Desconcertado por $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^2+x}-x$

Question

Me estoy preparando para el próximo Semestre y por lo tanto la revisión de algunos de mis Análisis me límites, he encontrado este ejemplo en C. T. Michaels Análisis I:

Calcular $ \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^2+x}-x$

Aantes del este ejercicio me calcula el límite mismo pero como $x$ enfoques $\infty$ en lugar de $- \infty$. Así que pensé que este debe ser un pedazo de pastel, pero al parecer el $- \infty$ hace toda la diferencia para mí.

Mi enfoque: Este es el enfoque general puedo tomar cuando se trata de las raíces, especialmente de las raíces cuadradas. Considere la posibilidad de: $$ \sqrt{x^2+x}-x= \left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}= \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$$ Factorización de un $x$ se me: $$ \frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$$ Así que me tome el límite de las anteriores expresan como $x$ enfoques $\infty$ I obtener la respuesta correcta $1/2$.

Sin embargo, cuando estudio el límite de $x$ enfoques $- \infty$ no veo la manera de que haría una diferencia desde $1 / - \infty=0$, pero la respuesta correcta en ese caso sería $\infty$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x++-infty+sqrt%28x%5E2%2Bx%29-x

Mi pregunta(s):

Donde está mi error?

No es posible usar los mismos métodos para $- \infty$ $\infty$ cuando el estudio de los límites?

Answer 1

La dificultad aquí es de "factoring" la $x$. Lo que realmente hay es esto:

Se puede alegar que $x^2+x=x^2(1+\frac{1}{x})$,$\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}$. Esto está perfectamente bien hasta ahora, mientras el último de la raíz cuadrada se define. El problema está en el último paso: usted ha afirmado, a partir de aquí, que $\sqrt{x^2}=x$. Y eso no es cierto!

Recuerde: en general, $\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$, no $x$. Y si $x<0$,$\lvert x\rvert=-x$, no $x$.

Por lo tanto, deben ser $$ \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{1}{x}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}. $$

Answer 2

Además de todas las respuestas, sólo tenga en cuenta si ponemos

$y = -x$ entonces tenemos

$$\lim_{y \to +\infty} \sqrt{y^2 - y} + y$$ which is clearly $+\infty$

Answer 3

Ajuste del $\displaystyle-\frac1x=h\iff x=-\frac1h$

$$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\lim_{h\to0^+}\left(\sqrt{\frac1{h^2}-\frac1h}+\frac1h\right)$$ $$=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{1-h}+1}h\text{ as }h>0$$

$$=\lim_{h\to0^+}\frac{(1-h)-1}{h(\sqrt{1-h}-1)} $$

$$=-\lim_{h\to0^+}\frac1{\sqrt{1-h}-1}\text{ as } h\ne0\text{ as }h\to0^+ $$

$$=-\frac1{1-1}$$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{\mbox{Use always}\ \root{x^{2}} = \verts{x}\quad \mbox{and}\quad \verts{x} = x\,\sgn\pars{x}\ !}$ $$ {x \\raíz{x^{2} + x} + x} = {\verts{x} \\sgn\pars{x}\raíz{x^{2} + x} + \verts{x}} = {1 \over \sgn\pars{x}\raíz{1 + 1/x} + 1}\,,\qquad x \no= 0 $$

\begin{align} &\lim_{x \to -\infty}{1 \over \sgn\pars{x}\root{1 + 1/x} + 1} = \lim_{x \to -\infty}{1 \over\ -\root{1 + 1/x} + 1} = +\infty \\[3mm]& \lim_{x \to +\infty}{1 \over \sgn\pars{x}\root{1 + 1/x} + 1} = \lim_{x \to +\infty}{1 \over\ +\root{1 + 1/x} + 1} = \half \end{align}

Esentially, su error fue el de la división de $\ds{\root{x^{2} + x} \over x}$. Es, en efecto: $$ {\raíz{x^{2} + x} \over x} = -\,{\raíz{x^{2} + x} \\verts{x}}\ \mbox{si}\ x < 0\quad\mbox{y}\quad {\raíz{x^{2} + x} \over x} = +\,{\raíz{x^{2} + x} \\verts{x}}\ \mbox{si}\ x > 0 $$