Soluciones del número entero a sistema no lineal de ecuaciones $(x+1)^2+y^2 = (x+2)^2+z^2$ y $(x+2)^2+z^2 = (x+3)^2+w^2$

Question

Existen números enteros $x,y,z,w$ que satisfacen\begin{align*}(x+1)^2+y^2 &= (x+2)^2+z^2\\(x+2)^2+z^2 &= (x+3)^2+w^2?\end{align*}

Estaba pensando en intentar demostrar por contradicción que no existen tantas enteros. La primera ecuación da $y^2 = 2x+3+z^2$ mientras que la segunda da $z^2 = 2x+5+w^2$. ¿Cómo podemos encontrar una contradicción aquí?

Answer 1

$$ 25 = 5^2 = 3^2 + 4^2 = 4^2 + 3^2 = 5^2 + 0^2$$ $$ 1105 = 5 \cdot 13 \cdot 17 = 31^2 + 12^2 = 32^2 + 9^2 = 33^2 + 4^2$$ $$ 12025 = 5^2 \cdot 13 \cdot 37 = 107^2 + 24^2 = 108^2 + 19^2 = 109^2 + 12^2$$ $$ 66625 = 5^3 \cdot 13 \cdot 41 = 255^2 + 40^2 = 256^2 + 33^2 = 257^2 + 24^2$$ $$ 252601 = 41 \cdot 61 \cdot 101 = 499^2 + 60^2 = 500^2 + 51^2 = 501^2 + 40^2$$ $$ 292825 = 5^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 53 = 539^2 + 48^2 = 540^2 + 35^2 = 541^2 + 12^2$$ $$ 751825 = 5^2 \cdot 17 \cdot 29 \cdot 61 = 863^2 + 84^2 = 864^2 + 73^2 = 865^2 + 60^2$$

INSERT FRIDAY: in order to show that these examples are always $n \equiv 1 \pmod 8,$ it suffices to consider everything $\pmod{16}.$ Odd squares are $1,9 \pmod {16}.$ Indeed, if $t \equiv \pm 1 \pmod 8$ then $t^2 \equiv 1 \pmod{16}.$ if $s \equiv \pm 3 \pmod 8$ then $s^2 \equiv 9 \pmod{16}.$ The restriction comes in even squares, which are $0, 4 \pmod {16}.$ That is most of the argument, that $12$ is not a square $\pmod {16}.$ Call it a proposition, it is not possible to have $$ n = x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 =x_3^2 + y_3^2 $$ with $$ x_1 \equiv \pm 1 \pmod 8, \; \; \; x_2 \equiv 2 \pmod 4, \; \; \; x_3 \equiv \pm 3 \pmod 8. $$

Except for 292825 there seems to be a pattern, probably one variable polynomials.

INSERT: The pattern is easier to see if we translate the $n$ below as $n=m-1,$ or $m=n+1:$ $$ \color{magenta}{ w = 16 m^6 + 4 m^4 + 4 m^2 + 1} $$ $$ \color{red}{w = \left( 4 m^3 - 1 \right)^2 + \left(2 m^2 + 2m \right)^2} $$ $$ \color{red}{w = \left( 4 m^3 \right)^2 + \left(2 m^2 + 1 \right)^2 }$$ $$ \color{red}{ w = \left( 4 m^3 + 1 \right)^2 + \left(2 m^2 - 2m \right)^2 }$$ Yep, $$ w = 16n^6 + 96n^5 + 244 n^4 + 336 n^3 + 268 n^2 + 120 n + 25 $$ $$ w = \left( 4 n^3 + 12 n^2 + 12 n + 3 \right)^2 + \left( 2n^2 + 6n + 4 \right)^2 $$ $$ w = \left( 4 n^3 + 12 n^2 + 12 n + 4 \right)^2 + \left( 2 n^2 + 4n +3 \right)^2 $$ $$ w = \left( 4 n^3 + 12 n^2 + 12 n + 5 \right)^2 + \left( 2 n^2 + 2n \right)^2 $$

Compruebe el álgebra:

parisize = 4000000, primelimit = 500509
? u = ( 4 * n^3 + 12 * n^2 + 12 * n + 3)^2  + ( 2 * n^2 + 6 * n + 4)^2
%1 = 16*n^6 + 96*n^5 + 244*n^4 + 336*n^3 + 268*n^2 + 120*n + 25
? v = ( 4 * n^3 + 12 * n^2 + 12 * n + 4)^2  + ( 2 * n^2 + 4 * n + 3)^2
%2 = 16*n^6 + 96*n^5 + 244*n^4 + 336*n^3 + 268*n^2 + 120*n + 25
? w = ( 4 * n^3 + 12 * n^2 + 12 * n + 5)^2  + ( 2 * n^2 + 2 * n + 0)^2
%3 = 16*n^6 + 96*n^5 + 244*n^4 + 336*n^3 + 268*n^2 + 120*n + 25
? u - v
%4 = 0
? v - w
%5 = 0
? w - u
%6 = 0
? 

Answer 2

$-1^2 + 0^2 = 0^2 + 1^2 = 1^2 + 0^2$ Si quieres un ejemplo trivial como negativo y cero enteros.

% De tan $x = -2$etcetera.

Answer 3

Necesitamos encontrar (o demostrar que no existe) un número impar $a$ que es la diferencia de dos cuadrados: $$y^2-z^2=a$$

Esto es bastante fácil. Sólo tenemos que escribir $a$ como el producto de dos números diferentes: $a=mn$. Si $m>n$, dicen, a continuación, el fácil possbility es que $m=y+z$$n=y-z$. Sólo necesitamos resolver para $y$ $z$ y hemos terminado. Los valores de $y$ $z$ son enteros debido a $m$ $n$ tienen la misma paridad (ambos son impares).

Ahora el paso duro es que, además de la anterior ecuación tenemos que encontrar otra plaza de $w^2<z^2$ tal que $z^2-w^2=a+2$.

Además, la solución para $z$ en ambos casos ha de ser el mismo, por supuesto.

Entonces:

• $y=(m+n)/2$
• $z=(m-n)/2=(u+v)/2$
• $w=(u-v)/2$
• $mn-uv=-2$

Desde $u=m-n-v$ hemos $$mn-uv=mn-(m-n-v)v=v^2-(m-n)v+mn=-2$$

Si vemos esto como una ecuación de segundo grado en $v$, el discriminante (que debe ser un cuadrado) es $$(m-n)^2-4mn-8=m^2-6mn+n^2-8=(m-3n)^2-8(n^2+1)$$

Deje $s=m-3n$. Existe alguna $t$ tal que $$s^2-t^2=8(n^2+1)$$

Tenga en cuenta que $s$ $t$ son incluso.

Podemos decir, por ejemplo (hay más posibilidades) que $$s+t=2n^2+2$$ $$s-t=4$$ Entonces tenemos $s=n^2+3$, $t=n^2-1$. Por lo tanto, $m=n^2+3n+3$. También $$v=\frac{n^2+2n+3\pm(n^2-1)}2=\begin{cases}n+2\implies u=n^2+n+1\\n^2+n+1\implies u=n+2\end{cases}$$

La solución correcta es lo que hace a $v\le u$, que es $u=n^2+n+1$, $v=n+2$.

Entonces, para cualquier valor impar para $n$ tenemos una solución (al menos). La primera de Voluntad Jagy las soluciones pueden ser obtenidas por $n=3$.

A saber:

$$\begin{cases}y=\frac{(n+1)(n+3)}2\\z=\frac{n^2+2n+3}2\\w=\frac{(n+1)(n-1)}2\\x=\frac{y^2-z^2-3}2\end{cases}$$

Ejemplo: Para $n=13$ hemos $m=211$, $u=183$, $v=15$. Así $y=112$, $z=99$, $w=84$. Y a partir de esto, $$1371^2+112^2=1372^2+99^2=1373^2+84^2=1892185$$

Answer 4

Las diferencias entre consecutivos plazas son números impares consecutivos. Por lo tanto tenemos:

$y^2-z^2=$ número impar

$z^2-w^2=$ el próximo número impar

Por supuesto, si estos fueran a la inversa (si la palabra "siguiente" se mueve una ecuación de arriba), entonces la solución sería sencilla; cualesquiera tres números consecutivos. Como es, es algo más complicado, pero ciertamente no es imposible.

El fraseo de las ecuaciones como yo, un poco de pensamiento revelará que cualquier secuencia de números impares consecutivos que se pueden crear particiones tales que los números más pequeños se suman a un número impar que es $2$ mayor que la suma de los números más grandes de la partición, ofrecerá una solución.

Lo que es más, cualquier solución de la ecuación original se presentan la característica descrita en el párrafo precedente; que las dos preguntas son equivalentes.

---

Los préstamos a partir de otro existente respuesta, vamos a ver esta solución en contra de mi afirmación anterior:

$$31^2 + 12^2 = 32^2 + 9^2 = 33^2 + 4^2$$

Los números impares que comprenden la diferencia entre el $4^2$ $9^2$ $$(4+5), (5+6),(6+7),(7+8),(8+9)$$ or in other terms: $$9,11,13,15,17$$

Los números impares que comprenden la diferencia entre el $9^2$ $12^2$ $$19,21,23$$

Los cinco primeros números, por supuesto, añadir a $13\times5=65$, y los tres últimos números se suman a $21\times3=63$, lo que ilustra mi anterior conclusión.

---

Y, por supuesto, $65$ $63$ son las diferencias entre el$(x+2)^2$$(x+3)^2$, e $(x+1)^2$$(x+2)^2$, respectivamente, lo cual nos dice que $x$ será igual a la mitad de la menor de estas dos números impares, después de la $3$ unidades se restan: $$\frac {63-3} 2=30$$ (This is because the smaller number, $63$, equals $(x+1)+(x+2)$.)