Una función de $f(x)$ es definida y continua en el intervalo $[0,2]$$f(0)=f(2)$. Demostrar que los números $x,y$ $[0,2]$ existe tal que $y-x=1$$f(x) = f(y)$.
Ya puedo adivinar esto va a implicar el teorema del valor intermedio. Hasta ahora he definido cosas tales como: Estoy buscando satisfacer las siguientes condiciones para los valores de x, y:
- $f(x) = f(x+1)$
- $f(x) = f(y)$
He definido otra función, $g(x)$ tal que $g(x) = f(x+1) - f(x)$ Si puedo demostrar que no existe un $x$ tal que $g(x) = 0$, a continuación, también he comprobado que $f(x) = f(x+1)$.
ya estoy dado el intervalo [0,2], que puede mostrar que:
$g(1) = f(2) - f(1)$,
$g(0) = f(1) - f(0)$
Me han dicho que $f(2) = f(0)$, de modo que puedo cambiar las cosas para demostrar que $g(1) = f(0) - f(1) = -g(0)$. Ok, Así que he demostrado que $g(0) = -g(1)$
¿Cómo puedo vincular este? Yo no soy capaz de cerrar esta prueba. Yo sé que tengo que incorporar el valor intermedio teorema que establece que si existe un punto c en $(a,b)$, entonces debe haber un valor de $a<k<b$ tal que $f(k) = c $ porque no hay nada más.
Pensé que tal vez para utilizar el teorema de Rolle a declarar que desde $f(0) = f(2)$ sé que esta función no es monótona. Y si no monotónica debe tener un "punto de inflexión" donde$f'(x) = 0$, pero no está funcionando. De todos modos necesito ayuda con esta prueba, en particular, y tal vez algunos consejos sobre la resolución de las pruebas en general, ya que este tipo de cosa me lleva horas.
Gracias.
