Geométrica (trigonométricas) desigualdad $\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq1+\frac{4R}{r}$

Question

¿Cómo puede uno probar/refutar eso $\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq1+\frac{4R}{r}$ donde $R$ $r$ denotar la costumbre de circunstancias y inradii respectivamente.

Sé que $R=\frac{abc}{4\Delta}$ $r=\frac{\Delta}{s}$ donde $\Delta$ denota el área del triángulo, y $s$ la semi perímetro. Cualquier idea. Gracias de antemano.

Este es el problema J392 del Problema de la columna de Matemática Reflexiones - número 6 de 2016.

Answer 1

Podemos probar que$$\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq1+\frac{4R}{r}$ $ En efecto, necesitamos probar que$$\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq1+\frac{\frac{abc}{S}}{\frac{2S}{a+b+c}}$ $ o$$\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq1+\frac{8abc(a+b+c)}{16S^2}$ $ o$$\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq1+\frac{8abc}{\prod\limits_{cyc}(a+b-c)}$ $$$\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq\frac{\sum\limits_{cyc}(-a^3+a^2b+a^2c+2abc)}{\prod\limits_{cyc}(a+b-c)}$ $ O$$\frac{(a+b+c)^3}{3abc}\leq\frac{\sum\limits_{cyc}(-a^3+abc+a^2b+a^2c+abc)}{\prod\limits_{cyc}(a+b-c)}$ $ o$$\frac{(a+b+c)^2}{3abc}\leq\frac{\sum\limits_{cyc}(-a^2+ab+ab)}{\prod\limits_{cyc}(a+b-c)}$ $ por lo que es suficiente para demostrar que$$\sum\limits_{cyc}a\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)\leq3\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2c-a^3bc)$ $ o$$2\sum\limits_{cyc}(a^4b+a^4c-a^3b^2-a^3c^2-2a^3bc+2a^2b^2c)+\sum\limits_{cyc}(a^5-a^4b-a^4c+a^3bc)\geq0,$ $ Hecho!