¿Cuáles son los puntos de algunos esquemas?

Question

Vamos $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y,t]/(xy-t)$, $Y=\operatorname{Spec}K[x,y]/(xy-t)\rightarrow \operatorname{Spec}K$ y $Z=\operatorname{Spec}R[x,y]/(xy-t)\rightarrow \operatorname{Spec}R$ donde $K$ es la función racional campo con la variable $t$, e $R$ es el de la serie de Laurent anillo de la variable $t$.

Pregunta: ¿cuáles son los puntos en $Y$$Z$?

Sé que los puntos de $X$ son de la siguiente manera. El punto genérico $\xi$ está dado por el ideal de la $(0)$, y la correspondiente a $V=\{ xy=t\}\subset \mathbb{C}^{3}$. Cualquier punto de $V$ es un punto cerrado de $X$. También tenemos algunos puntos en el medio, por ejemplo, una correspondiente a la curva de $\{ xy=t\}$ a $t\neq0$ o $\{x=0, t=0\}$ o $\{y=0, t=0\}$ o $\{xa=t, y=a\}$ etc.

¿Cuál es el analógico descripción de $Y$$Z$?

Answer 1

Si $S$ es cualquier anillo, $u$ es una unidad en $S$, $x, y$ son indeterminates$S$, $S[x,y]/(xy-u)$ es isomorfo a la localización de la $S[x,x^{-1}]$, es decir, los polinomios de Laurent $S$. Los puntos de $\text{Spec}(S[x,x^{-1}])$ corresponden precisamente al primer ideales de $S[x]$ que no contengan $x$.

Ahora supongamos $S$ es un campo. A continuación, $S[x]$ es un PID, y el primer ideales de $S[x]$ se dan por $(f(x))$ donde $f$ es un polinomio irreducible sobre$S$$(0)$; por otra parte el único primer ideal que contiene a $x$ $(x)$ sí. Por lo $\dim S[x,x^{-1}] = 1$, el genérico punto es $(0)$, y en cada punto se cierra.

Esto es suficiente para cubrir ambos casos: por $Y$, $K = \mathbb{C}(t)$ es un campo donde la $t$ es una unidad, y para $Z$, $R = \mathbb{C}[[t, t^{-1}]]$ es también un campo donde $t$ es invertible (tenga en cuenta que $R$ es la localización de $\mathbb{C}[[t]]$ en el conjunto multiplicativo $\{t^n\}$, pero $\mathbb{C}[[t]]$ es local con ideal maximal generado por $t$). Explícitamente,

$$Y \leftrightarrow \{(f) \mid f \in K[x] \text{ irreducible over } K, f \ne x\} \cup \{(0)\}$$ $$Z \leftrightarrow \{(f) \mid f \in R[x] \text{ irreducible over } R, f \ne x\} \cup \{(0)\}$$