¿Es el mapa natural$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) $surjective?

Question

Estoy tratando de demostrar que la natural mapa de la especial lineales grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ a las especiales lineal grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ es surjective. Claramente, el problema radica en encontrar una relación inversa con el factor determinante. Si tiene los siguientes contorno de una prueba :

Elija una matriz de $\big(\begin{smallmatrix}a &b \\c& d\end{smallmatrix}\big)\in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. Utilizar el teorema del resto Chino para encontrar $b'=b \text{ mod } n$ tal que $a$ $b$ son relativamente primos... una Vez que tenga esta información ya se puede encontrar una relación inversa.

El problema es que no puedo averiguar cómo el teorema del resto Chino podrían ser de utilidad, ya que no hay ninguna razón para suponer que $a$ $n$ (capital $N$ en la prueba) han ggd=1.

Si entonces uno podría decir que hay una solución de $b'=b \bmod N$$b'= 1 \bmod a$.

Pero no puedo ver cómo lo hacen en general.

Muchas gracias!

Answer 1

Básicamente tienes razón. Tome un% arbitrario% #%. Elija entonces$\left(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\right)\in\text{SL}_2(\mathbb{Z}_n)$ tal que$b'\equiv b\text{ mod }n$ (aquí es donde usa CRT). Dado que el lema de$(b',a)=1$ Bezout le indica que existe$(b',a)=1$ con$x,y\in\mathbb{Z}$ entonces$ax-b'y=1$ y$c'=c+y(1-(ad-b'c))$. Luego,$d'=d+x(1-(ad-b'c))$ y verificamos fácilmente que tenemos una imagen bajo el mapa canónico igual a lo que queremos.

Answer 2

Definir los subconjuntos $S$ $T$ $\text{M}_2(\mathbb Z)$ por

$\bullet\ A\in S\iff A\equiv g\bmod n$ algunos $g$ $\text{SL}_2(\mathbb Z)$ dependiendo $A$,

$\bullet\ A\in T\iff\det(A)\equiv1\bmod n$.

En particular $$ G:=\text{SL}_2(\mathbb Z)\subconjunto S\subconjunto T\subconjunto\text{M}_2(\mathbb Z). $$ Debemos mostrar $S=T$.

Claramente

$\bullet\ G\times G$ actuar en $S$ $T$ por $$ (g,h)=gAh^{-1}, $$ $\bullet$ por cada $A$ $T$ hay $g,h\in G$ tal que $gAh^{-1}$ es diagonal.

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que cualquier $\text{diag}(a,d)\in T\ $ pertenece a $S$.

Es sencillo comprobar que, como Alex Youcis notado, existen enteros $c'$ $d'$ satisfactorio $$ S\ni \begin{pmatrix}a&n\\c'&d'\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\bmod n. $$ El lema general es:

Si $a,b,n$ son enteros tales que $\gcd(a,b)=1$, entonces cualquier solución de mod $n$ a $$ ax+by=1\tag1 $$ ascensores para una solución exacta. Es decir, si $x_0$ $y_0$ satisfacer $$ ax_0+by_0\equiv1\bmod n, $$ entonces no es una solución a $(1)$ tal que $$ x\equiv x_0,\quad y\equiv y_0\quad\bmod n. $$