Si un grupo Abeliano$G$ tiene orden$n$ y como máximo un subgrupo de orden$d$ para todo$d$ dividiendo$n$ es cíclico

Question

Si un grupo abeliano$G$ tiene orden$n$ y como máximo un subgrupo de orden$d$ para todo$d$ dividiendo$n$ es cíclico.

Estoy tratando de usar el teorema de la estructura para grupos finamente generados abelianos.

Así que escribo$G$.

Espero mostrar cada uno de los alpha's must = 1 entonces tendré que$n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_n^{\alpha_n}$ es isomorfo a$G$, que es cíclico.

Answer 1

Sólo los más básicos de la teoría de grupo y una cuenta simple argumento será suficiente. Por Lagrange del teorema $G$ sólo tiene elementos de las órdenes de $d$ dividiendo $n$. Si un elemento existe, entonces el grupo cíclico se genera tiene un número $\phi(d)$ de los elementos de orden $d$ que sólo depende de $d$ (esto es de Euler totient función, pero necesitamos saber nada al respecto). Por la hipótesis de $G$ no puede contener otros elementos de orden $d$, por lo que tiene o $\phi(d)$ tales elementos o ninguno; set $\chi_G(d)=1$ si tiene tales elementos y $\chi_G(d)=0$ si no. Luego de contar elemento de $G$ por su orden uno tiene $$n=\#G=\sum_{d\mediados n}\chi_G(d)\phi(d).$$

Pero un grupo cíclico de orden $n$ tiene exactamente un subgrupo cíclico de orden $d$ por cada $d$ que divide $n$. Esto significa que $$\sum_{d\mediados n}\phi(d)=n.$$ Así, la fórmula para $G$ sólo puede ser satisfecho si todos los valores de $\chi_G(d)$ son igual a $1$. En particular,$\chi_G(n)=1$: el grupo $G$ contiene elementos de su propia orden de $n$ y por lo tanto es cíclico.

Answer 2

Sea$\phi$ la función totient de Euler.

La suposición implica que$G$ tiene como máximo$\phi(d)$ elementos de orden$d$ siempre que$d$ divide$n$.

Pero entonces tiene al menos$\phi(d)$ elementos de orden$d$ siempre que$d$ divide$n$.

Así que tiene elementos de orden$n$.

EDITAR. Como Tomás sugiere, debo añadir que el siguiente hecho se ha utilizado implícitamente: Tenemos $$\ sum_ {d | n} \ \ phi (d) = n$$ considerando el caso cuando$G$ es cíclico.

Answer 3

Puede ser más fácil si usa la forma del teorema de estructura que dice que$G$ es un producto de grupos cíclicos donde el orden de cada uno divide el orden del siguiente.

Answer 4

Por el teorema de Cayley$G$ tiene un elemento$x$ de orden$p_i$. Se deduce de su requisito que el subgrupo$\langle x\rangle$ generado por$\langle x\rangle$ contenga todos los elementos de orden$p_i$.

Ejercicio para usted: demuestre que$p_i$ no puede dividir el orden del grupo de factores$G/\langle x\rangle$ (¿Por qué?)

Y ya terminaste

PS Si ya cubrió este tema, mirar a los subgrupos$p$ - Sylow también ayuda, pero creo que esto es más complicado. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org