Las transformaciones de la cubierta en$S^1\times \mathbb{R}P^2$

Question

Estoy estudiando para los exámenes de calificación y pegado en el siguiente problema:

Supongamos que $S^1\times \mathbb{R}P^2$ cubre un espacio, y deje $h$ ser un mazo de transformación de la cubierta. Mostrar que la inducida por el isomorfismo $h_*$ $H_1(S^1\times \mathbb{R}P^2)$ es la identidad.

He hecho varios intentos para resolver sin éxito. Por ejemplo, si podemos demostrar que $h$ tiene un punto fijo, nos será hecho. Alternativamente, mirando a $\operatorname{Aut}(H_1(S^1\times \mathbb{R}P^2))\cong \mathbb{Z}_2^2$ y la aplicación de Lefschetz, podemos demostrar que $h_*$ no es ni automorphism que los mapas de $(1,0)\mapsto (-1,0)$. Sin embargo, queda por eliminar la posibilidad de que $h_*$ es el automorphism que los mapas de $(1,0)\mapsto (1,1)$$(0,1)\mapsto (0,1)$. Será cualquiera de estos métodos de trabajo? ¿Alguien sabe de un impermeable de la prueba?

Answer 1

Supongamos que el automorphism usted está preocupado acerca de es inducida por un homeomorphism $h\in Homeo(S^1\times RP^2)$. A continuación, un ascensor de $h$ a la cobertura universal de los conjugados de una orientación de la preservación de la cubierta de la transformación a una orientación de la inversión, que es imposible. Por lo tanto, usted está listo.

Edit: Set $M=S^1\times RP^2$. Voy a identificar a $\pi_1(M)$ con el grupo de automorfismos de la universalización de la cobertura $\tilde M\to M$. El grupo $\pi_1(M)$ divisiones como el producto $Z\times Z_2$; deje $a, b$ denotar respectivos generadores de los dos directos de los factores. A continuación, $a$ preserva la orientación (de la universalización de la cobertura $\tilde M$) mientras que $b$ invierte la orientación. En particular, $a+b$ también invierte la orientación. Por lo tanto, un homeomorphism de $\tilde M$ no conjugada $a$ $a+b$(conjugación es entendido en el grupo $Homeo(\tilde M)$). Este es un hecho general sobre homeomorphisms de colectores orientados $X$: Para $f_i\in Homeo(X)$, $i=1,2$, el homeomorphism $$f_1 f_2 f_1^{-1}$$ conserva la orientación de $X$ si y sólo si $f_2$.

De ello se sigue que todos los $h\in Homeo(M)$ a preservar el anterior producto directo de la descomposición de la $\pi_1(M)\cong H_1(M)$.