¿Cuál es el propósito de la identidad del ángulo compuesto en la trigonometría?

Question

Esta puede ser una pregunta tonta, pero que estoy confundido, sin embargo.

Con respecto a las identidades trigonométricas compuestas como$\cos(A+B)=\cos A\cos B - \sin A\sin B$ etc., me gustaría saber por qué se utilizan. ¿Cuál es el propósito? Seguramente uno se preguntaría que si podemos agregar$A$ y$B$ juntos y llamarlo$C$ (grados o radianes) entonces podríamos encontrar el coseno de$C$. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Sé que hay más, pero es ahí donde me gustaría recibir tu ayuda.

¡Gracias! :)

Answer 1

Considere la posibilidad de encontrar la derivada de$f(x)=\cos(x)$.

Con esa identidad, el$f(x+h)=\cos(x+h)$ puede ser expandido y manejado bien, mientras que sin él, ¿cómo derivaría este valor aparte de definirlo de esa manera?

Usando la identidad, entonces las cosas pueden ser evaluadas y computadas.

Answer 2

Además, la gente simplemente acaba de memorizar los valores de coseno y seno para$0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$.

Usando este teorema (y otros) sin embargo, podemos determinar exactamente varios valores más para el seno y el coseno que eran previamente inaccesibles a los enfoques de lápiz y papel . Por ejemplo, $\cos 75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(Ciertamente, la tecnología hoy en día es maravillosa y puede decirnos respuestas a preguntas como éstas, pero es bueno saber cómo hacer las cosas antes de que las calculadoras estuvieran alrededor)

Answer 3

Aquí hay un ejemplo de dónde puede ser útil. Vamos a usarlo en$\cos(x+\pi/2)$. La fórmula dice$\cos(x+\pi/2)=\cos(x)\cos(\pi/2)-\sin(x)\sin(\pi/2)$ y como$\cos(\pi/2)=0$ y$\sin(\pi/2)=1$ esto implica$\cos(x+\pi/2)=-\sin(x)$ Las fórmulas de suma pueden usarse para probar todo tipo de identidades útiles como esa.

Answer 4

No se usan realmente en la geometría misma, sino más en la resolución de ecuaciones geométricas y cuando se hacen las sustituciones trigonométricas en el cálculo. Además, es interesante conocer estas propiedades, aunque raramente las utilicemos.

Answer 5

El propósito de estas ecuaciones son permitir a un estudiante, matemático, ingeniero, etc... para resolver las ecuaciones. Usted verá un montón en las siguientes clases: Cálculo Integral, Multivariable y Cálculo Vectorial, Ecuaciones Diferenciales, etc....

Un muy buen ejemplo de que es importante en el procesamiento de la señal es la Serie de Fourier. Es una forma de interpolación que se usa para generar formas de onda.

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

Como alguien ha mencionado, se podría utilizar una calculadora para hacer esto, pero para el papel y el lápiz de trabajo sin una calculadora, estas identidades vienen muy bien para resolver este tipo de ecuaciones. Hay muchas de esas identidades en toda la matemática, pero no una persona puede saber de ellos, ni siquiera los que tienen doctorados. Los que enseñan en la escuela son los más populares/de gran utilidad.