Si$a^3=e$, entonces$a$ tiene una raíz cuadrada

Question

Suponiendo que$a\in G$ donde$G$ es un grupo.

No estoy seguro de por qué esto es difícil para mí. Esencialmente, el problema es simplemente decir:

Si$a^3=e$, entonces existe$x \in G$ tal que$a=x^2$.

¿Puede alguien darme una pista o una dirección para empezar? (No solución completa, por favor - quiero averiguarlo yo mismo)

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Pruebe$x$ como una potencia de$a$ (ya que estas son las únicas cosas que se aseguran en$G$).

Answer 2

Sugerencia: multiplique por$a$ para encontrar$$a^4 = a

Answer 3

Sugerencia $\,\ a^{\large 3}= 1\,\Rightarrow\,a^{\large 3n}=1\,\overset{\times\, a}\Rightarrow\,a^{\large 1+3n} = a\,$ es un cuadrado si $\ 2\mid 1\!+\!3n,\,$ por ejemplo $\, n = \,\ldots\ $ QED

Comentario Aquí es la intuición. $\ a^{\large 3}= 1\ $ implica que los exponentes en $\,a\,$ puede considerarse mod $\,3,\,$

$$\color{#c00}{a^{\large 3}= 1}\ \Rightarrow\ a^{\large k+3n} = a^{\large k} (\color{#c00}{a^{\large 3}})^{\large n} = a^{\large k}\ \ \ {\rm so}\ \ \ a^{\large j}\! = a^{\large j\ {\rm mod}\ 3}$$

Por lo tanto, podemos sustituir el exponente $1$ $\,a^1\,$ cualquier $\,j\equiv 1\pmod 3,\,$ que incluye a incluso $\,j,\,$ es decir $\,{\rm mod}\ 3,\,$ tenemos que $1$ es "aún", es decir, $\ 2\mid 1,\,$ es decir $2$ es invertible. Esto se generaliza de la siguiente manera.

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Si $\,\color{#c00}{a^k = 1}\,$ $\,\gcd(n,k)=1\,$ $\,a\,$ $n$'th poder. De hecho, por encima de ella es suficiente para encontrar un múltiplo $\,jn\,$ $\,n\,$ $\,\equiv 1\pmod k,\,$ es decir, para invertir $\,n\,$ mod $\,k,\,$ es fácil:

$\qquad\qquad$ por Bezout, hay $\,i,j\in\Bbb Z\,$ $\ jn = 1 + ik\ $ $\ (a^j)^n = a(\color{#c00}{a^k})^i = a$

Nota cómo el problema se reduce al problema de la división de mod $\,k.\,$ La estructura que subyace a esta reducción será más claro cuando uno de los estudios cíclicos grupos y módulos ($\,\Bbb Z/k)$.