¿No deberían coincidir estas dos definiciones de curvatura?

Question

En $\mathbb R^n$ la definición de la curvatura de una suave regular de la curva de $\gamma : \mathbb R \to \mathbb R^n$ $$ \kappa (t) = \|\gamma''(t)\| / \|\gamma '(t)\|$$

En $\mathbb R^2$ la definición de la curvatura de un arbitrario suave regular de la curva de $\gamma : \mathbb R \to \mathbb R^2$ $\gamma (t) = (x(t),y(t))$ es

$$ \kappa (t) = {x'(t) y''(t) - x'' (t) y' (t) \over (x^{'2} + y^{'2})^{3/2}}$$

Supuse que estos deben ser iguales porque pensé que la segunda fórmula fue simplemente por comodidad y no en la realidad diferentes. Pero el cálculo de un ejemplo sencillo, dice lo contrario:

Si $\gamma (t) = (2 \cos t, \sin t)$ es una elipse, a continuación,

$$ \|\gamma ''\|/\|\gamma'\| = {\sqrt{4 \cos^2 t + \sin^2 t} \over \sqrt{4 \sin^2 t + \cos^2 t}}$$

mientras que

$$ \kappa(t) = {2\over (4 \sin^2 t + \cos^2 t)^{3/2}}$$

Del mismo modo, una curvatura diferente para $\gamma (t) = (t,t^2)$.

¿Por qué es que la curvatura $\mathbb R^2$ se define de manera diferente que para $\mathbb R^n$? Parece extraño para mí que ellos no son iguales.

Answer 1

Su primera fórmula es incorrecta. O, más bien, sólo es correcto cuando$||\gamma'(t)||$ es constante. De lo contrario, su valor depende de la parametrización: por ejemplo, esa fórmula da una curvatura no nula incluso para una línea recta parametrizada como$(t^3+t,0)$.

Answer 2

El (no orientado) la curvatura de $\gamma$ es la longitud de los derivados de su unidad vector velocidad en el respeto de arclength, es decir, la longitud de $$\frac{1}{\|\gamma'\|}\left(\frac{\gamma'}{\|\gamma'\|}\right)'.$$ Es fácil calcular esta longitud como $$\frac{1}{\|\gamma'\|^3}\sqrt{\|\gamma'\|^2\|\gamma''\|^2-\langle \gamma',\gamma''\rangle^2},$$ lo que equivale a $$\frac{1}{\|\gamma'\|^2}\sqrt{\|\gamma''\|^2-\langle\frac{\gamma'}{\|\gamma'\|},\gamma''\rangle}.$$ Como el radicando es el Gramo-matriz de $\gamma''$ $\gamma'/\|\gamma'\|$ la curvatura admite la siguiente interpretación: es el área del paralelogramo definido por la unidad vector velocidad y la aceleración, dividido por el cuadrado de la velocidad.

Explicación: el resultado del cálculo muestra que la noción de curvatura ser el cambio de la unidad vector velocidad respecto a arclength de hecho, es el mismo que el de Euler, la idea de la curvatura: la componente normal de la aceleración dividido por el cuadrado de la velocidad.

La principal diferencia con respecto a $R^2$ vs $R^n$ $n>2$ es que nosotros no podemos, naturalmente, establecer una orientada a la curvatura.

Edit: En caso de $R^2$ podemos lograr fácilmente que $$\sqrt{\|\gamma'\|^2\|\gamma''\|^2-\langle \gamma',\gamma''\rangle^2}=\sqrt{(x'y''-x''y')^2}=|x'y''-x''y'|.$$