¿Se puede pedir un conjunto infinito sobre su cardinalidad? ¿Tiene un conjunto infinito una cardinalidad? Así, por ejemplo, ¿cuál sería la cardinalidad de$+\infty$?
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Rudy the Reindeer
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Pero... "$\infty$" no es un conjunto. La cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. Por ejemplo, la cardinalidad de a $\{3,4,5\}$ es de tres.
Sí, conjuntos infinitos también puede tener cardinalidades. La definición rigurosa es un poco de la maquinaria pesada que probablemente no conocen.
Para dar una idea, aunque de lo que la definición será la siguiente: se dice que todo en este mundo es un conjunto, por tanto $3$ es también un conjunto. Por lo tanto a la hora de definir la cardinalidad de un conjunto a en un conjunto en bijection con el conjunto. Para dar un ejemplo, la cardinalidad de los números naturales $\mathbb N$ $\mathbb N$ sí. Pero la cardinalidad de los números enteros $\mathbb Z$$\mathbb N$. Y la cardinalidad de los racionales $\mathbb Q$$\mathbb N$. De hecho, cada contables conjunto infinito puede pensar tiene cardinalidad $\mathbb N$.
Voy a parar aquí, ya que va a entrar en detalles sólo será confuso en esta etapa.
Sí, conjuntos infinitos tienen cardinalidad. En primer lugar, sin embargo, tenga en cuenta que cardinalidades no son números reales. En el hecho de que no son números naturales. Lo que ocurre es que el finito cardinalidades coinciden con los números naturales (en representación básica de la aritmética). Por lo tanto, no podemos pensar realmente acerca de los conjuntos de cuya cardinalidad es "$+\infty$ " $+\infty$ es simplemente una notación formal para una cantidad mayor de todos los números reales. Pero los cardenales no son números reales, por lo que no suelen denotar cardinalidades de los conjuntos infinitos con $\infty$ (y cuando lo hacen, es con frecuencia cuando nosotros realmente no se preocupan acerca de la cardinalidad, sólo de si es o no es finito). Tenga en cuenta que como un símbolo de $+\infty$ no realmente hacer un conjunto que podemos medir su cardinalidad.
Para conjuntos infinitos tienen cardinalidades, la más simple es $\aleph_0$, lo que denota la cardinalidad de los números naturales, es decir,$\{0,1,2,\ldots\}=\mathbb N$. Es cierto que no es un "número" como la mayoría de la gente piensa acerca de los números, pero los números son simplemente objetos matemáticos que representan una cantidad de hormigón, y en este aspectos $\aleph_0$ no es diferente.
Decimos que un conjunto infinito $A$ tiene cardinalidad $\aleph_0$ si no hay una función de $\mathbb N$ a $A$ que es un bijection. No todos los conjuntos infinitos tienen cardinalidad $\aleph_0$. Por ejemplo, los números reales tienen un sentido estrictamente mayor cardinalidad que puede ser calculada como $2^{\aleph_0}$, la misma cardinalidad como $\mathcal P(\mathbb N)=\{A\mid A\subseteq\mathbb N\}$.
