¿Por qué ' t estos negativos soluciones números de ecuaciones radicales?

Question

Yo estaba trabajando en ecuaciones con radicales y me encontré con un par de problemas donde obtuve respuestas que funcionó cuando me registré, pero no se aparece como soluciones. Mi maestra única explicación fue, "porque sí." Aquí es un problema donde la única solución es $1$.

$x=\sqrt{2-x}$

Cómo lo resolví

$x^{2}=2-x$

$x^{2}+x-2=0$

$(x+2)(x-1)=0$

$x= \{-2, 1\}$

Luego de conectar los dos números de la espalda, puedo conseguir

$1 = \sqrt{2-1}$

$1 = \sqrt{1}$

$1 = 1$

y

$-2 = \sqrt{2--2}$

$-2 = \sqrt{4}$

La raíz cuadrada de $4$ puede ser $-2$ porque $-2 \times -2 = 4$ y $2$. $1$ es la única solución que se enumeran y mi profesor dice que es correcto.

¿Cuál es la explicación para esto? ¿Por qué no $-2$ una solución para el problema?

Answer 1

Esto es debido a la notación. Cuando escribimos $\sqrt{n}$ nos referimos sólo a la raíz cuadrada positiva de $n$. Si quisiéramos incluir soluciones positivas y negativas, escribimos $\pm\sqrt{n}$.

Sé que esto puede ser irritante, pero es la Convención que se utiliza, puesto que la raíz cuadrada no sería una función dio varios valores.

Answer 2

El problema surge a partir de la segunda línea.

La instrucción: $ x = \sqrt{2-x} $

No es equivalente a la instrucción: $ x^2 = 2 - x $

Piensa en ello de esta manera, aunque la primera declaración implica la segunda, la segunda no implica que la primera (ya que sería necesario introducir la raíz cuadrada negativa).

$ x=-2 $ No es realmente una solución de la ecuación original, ya que sólo estás tomando la raíz cuadrada positiva. Sólo tienes que recordar que cuando el cuadrado, siempre se puede introducir incorrecto 'soluciones', simplemente porque A = B no es lógicamente equivalente a A^2 = B^2.

Answer 3

Cuando usamos un radical, $\sqrt[n]{~~}$, nos referimos a tomar la directora $n^{th}$ raíz, que en el caso de los números reales positivos siempre será un número real positivo.

En otras palabras $\sqrt{4} = 2$ y sólo $2$. $\sqrt{4}\neq -2$ aunque $(-2)^2 = 4$

Si vamos a permitir que múltiples raíces, podemos usar $(~~)^{\frac{1}{n}}$ para referirse a cualquier elemento del conjunto de todos los $n^{th}$ raíces, señalando que esta es una de varios valores de la función (y por lo tanto no es una función del todo, ya que al ser una función que se requiere es tener una sola salida para cualquier entrada dada).

Aquí tenemos a $4^{\frac{1}{2}} \in \{2,-2\}$

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En el ejemplo específico, $x = \sqrt{2-x}$, $x$ igual al principio de la raíz cuadrada de algo presumiblemente positivo, debe ser también positivos, y por lo $x=1$ es la única solución (como se muestra por su álgebra de arriba).

Answer 4

La respuesta, como ya ha destacado los otros, es que el $\sqrt{4} \neq -2$, pero para ayudarle en la evaluación de la expresión real, tener en cuenta que $\sqrt{x^2} \neq x$, $\sqrt{x^2} = \left| x \right|$.

Answer 5

Omar ya dio una buena respuesta, pero quería ampliar en esta parte:

Sólo tienes que recordar que cuando el cuadrado, siempre se puede introducir incorrecto 'soluciones', simplemente porque A = B no es lógicamente equivalente a^2 = B^2.

Si usted tiene una ecuación, y se multiplican ambos lados por otra ecuación, no siempre se obtiene la misma ecuación.

Por ejemplo, $(x-2)=0$. Si se multiplican ambos lados por $(x+5)$, obtendrá $(x-2)(x+5)=0$. La segunda ecuación tiene soluciones $x=2,-5$, y el primero ha $x=2$ solamente.

En Omar ejemplo, desde la $A=B$, es multiplicar ambos lados por $A$. En general, sólo puede multiplicar ambos lados por un no-cero constante para preservar siempre la consistencia lógica. En tu ejemplo, que estás multiplicando ambos lados por $(2-x)^{1/2}$. Desde $(2-x)^{1/2}$ no es un no-cero constante, no siempre preservar la consistencia lógica.

Por ejemplo, usted puede multiplicar ambos lados por $4$, y no el cambio de las soluciones de la ecuación. Sin embargo, a veces va a preservar la ecuación en algo como el siguiente ejemplo: $(x-4)^4=0$, si se multiplican ambos lados por $(x-4)^2$, el resultado, $(x-4)^6=0$, va a tener el mismo conjunto de soluciones.