Probar por inducción$7 \mid 3^{3^n}+8$

Question

Bien, por lo que he estado tratando de probar esto durante unas 5 horas ... realmente necesitan la salvación de los genios por aquí.

Probar por inducción$7\mid 3^{3^n}+8$ realmente necesito algunas direcciones sobre qué hacer aquí ...

Answer 1

Supongamos que contiene$n$, de modo que$7|3^{3^n}+8$. Para$n+1$, queremos demostrar que$7|3^{3^{n+1}}+8$, o equivalentemente ese$7|3^{3^{n}\times 3}+8$, o equivalentemente ese$7|(3^{3^{n}})^3+8$. Desde el caso base ($n$), sabemos que$3^{3^n} \equiv -1 \mod 7$. Esto nos permite concluir que$(3^{3^{n}})^3+8 \equiv (-1)^3 + 8 \equiv 0\mod 7$.

Answer 2

Tenemos que demostrar que:$$3^{3^n}+8 \equiv 0 \pmod 7 \Rightarrow 3^{3^n}+1 \equiv 0 \pmod 7$ $

ps

ps

Por $$n=1: 3^{3}+1=3^{2+1}+1=3^2 \cdot 3+1=2 \cdot 3+1=7 \equiv 0 \pmod 7 \checkmark$:

ps

Answer 3

Si$x=7a$, ¿qué puede decir acerca de$(x-8)^3+8$ ..?

Answer 4

Primero observe que esto es equivalente a$7$ dividing$3^{3^n}+1$. Claramente si$n=1$, entonces$3^{3^1}+1 = 28$ y$7$ dividen esto.

Supongamos que es cierto para$n$. Entonces $3^{3^{n+1}} = 3^{3\cdot3^n} = (3^{3^n})^3$. Queremos entonces mostrar que$7$ divide$(3^{3^n})^3+1$. Una factorización agradable es que$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Entonces podemos escribir$(3^{3^n})^3+1$ como$(3^{3^n}+1)((3^{3^n})^2-3^{3^n}+1)$. ¿Puedes tomarlo de aquí?