¿Hay una forma mejor de explicar por qué $\phi \left ( p^k \right ) = p^k - p^{k-1}$ ?

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo y $k$ sea algún número entero positivo, y $\phi(n)$ sea la función Phi de Euler, que cuenta la cardinalidad del conjunto de enteros coprimos y menores que $n$ . Deseamos encontrar $\phi \left (p^k \right )$ .

Mi enfoque:

En primer lugar tener la respuesta ingenua $p^k-1$ y luego quitar los múltiplos de $p$ . Debe haber $p^{k-1}-1$ múltiplos de $p$ de $0$ a $p^k-1$ . Lo mostramos a continuación.

Tenemos $p, 2p, 3p, ... , p^{k-1}p$ , lo que da como resultado $p^{k-1}$ múltiplos de $p$ . Pero desde la última $p^{k-1}p$ es mayor que $p^k-1$ , quitamos manualmente ese caso, dejándonos con $p^{k-1}-1$ múltiplos de $p$ que es lo que queríamos.

Por lo tanto, $\phi \left (p^k \right ) = (p^k-1) - \left (p^{k-1} - 1 \right ) = p^k - p^{k-1}.$

Pero esto parece una forma indirecta de obtener el resultado, dado lo limpio que es. Esto me lleva a pensar que hay una explicación más sencilla que da el mismo resultado.

Si existe, ¿cuál es esa "explicación más sencilla"?

Answer 1

Creo que su explicación es la más sencilla. He aquí otra forma de verlo que puede proporcionar una intuición diferente. Factorizar $p^k$ para conseguir $$ \phi(p^k) = p^k \left( 1 - \frac{1}{p} \right) $$ que le dice que tire la fracción de los números menores que $p^k$ que son divisibles por $p$ .

Answer 2

Puede ser difícil saber exactamente lo que "más simple" puede significar aquí... y para quien De todos modos, se puede argumentar lo siguiente:

Hay exactamente $\;p\;$ múltiplos de $\;p\;$ tal que $\;mp^s\le m<(m+1)p^s\;$ para dos múltiplos consecutivos cualesquiera de $\;p\;$ entre $\;1\;$ y $\;p^k\;$ que son:

$$mp^s,\,mp^s+p,\,mp^2+2p,\,\ldots,\,mp^2+(p-1)p=(m+1)p^2-p$$

siendo el número más a la derecha el máximo múltiplo de este tipo que aún es menor que $\;(m+1)p^s\;$

Así: estrictamente entre $\;1\;$ y $\;p^k\;$ hay $\;k-1\;$ poderes de $\;p\,:\;p,\, p^2,...,p^{k-1}\;$ y entre cada dos potencias consecutivas hay $\;p\;$ múltiplos (contando sólo los puntos finales de la izquierda en cada intervalo).

En total, tenemos $\;p^{k-1}\;$ números como los anteriores, que son exactamente todos los números entre $\;1\;$ y $\;p^k\;$ que son no coprima con $\;p^k\;$ y, por lo tanto, hay $\;p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)\;$ números coprimos entre $\;1\;$ y $\;p^k\;$ .

Answer 3

Tal vez no sea "más sencillo", pero sí un poco más limpio:

Sabemos que $\varphi(p^k) = |\Bbb Z_{p^k}^*|=|\{a \in \Bbb Z_{p^k} \mid \gcd(p^k,a)=1\}|$ . Pero podemos reescribir esto como:

$$\varphi(p^k) = |\Bbb Z_{p^k}| - |\Bbb Z_{p^k} \setminus \Bbb Z_{p^k}^*| = p^k - |\{a \in \Bbb Z_{p^k} \mid \gcd(p^k,a) \neq 1 \iff p \mid a\}|$$

¿Cuántos elementos contiene $|\Bbb Z_{p^k} \setminus \Bbb Z_{p^k}^*|$ ? Estos son los elementos $a \in \Bbb Z_{p^k}$ Así que $1\leq a \leq p^k$ que se dividen por $p$ Así que $a = q \cdot p$ para algunos $q \in \Bbb Z\setminus\{0\}$ . Esto implica

$$p \leq q \cdot p \leq p^k \iff 1 \leq q \leq p^{k-1}$$

Así que hay $p^{k-1}$ elementos en $|\Bbb Z_{p^k} \setminus \Bbb Z_{p^k}^*|$ , es decir, todos los múltiplos de $p$ menor o igual que $p^k$ . Por lo tanto, obtenemos

$$\varphi(p^k) = |\Bbb Z_{p^k}| - |\Bbb Z_{p^k} \setminus \Bbb Z_{p^k}^*| = p^k - p^{k-1}.$$

Tenga en cuenta que elijo $p^k$ para ser el representante de la clase restante $\bar{0}$ en $\Bbb Z_{p^k}$ .