Prueba $\alpha(x) = f(x,y_0)$ es una función continua.

Question

Problema: $f:R^2\to R$, si f es continuo en $(x_0,y_0)$ muestran que la función $\alpha(x) = f(x,y_0)$ continua en $x_0$.

Sé que una función es continua si %#% $ #%

Hice esto:

$$\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$$

Dudo que esto está bien, necesito ayuda, gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que $|\alpha(x) - \alpha(x_{0})| = |f(x,y_{0}) - f(x_{0},y_{0})|$ % todo conveniente $x$. La función $f$ es continua por la asunción; así $|f(x,y) - f(x_{0},y_{0})|$ puede controlarse en alguna bola abierta de centro $(x_{0},y_{0})$. Así $|f(x,y_{0}) - f(x_{0},y_{0})|$ también puede ser controlado en alguna bola abierta de centro $x_{0}$; así que continuo en $\alpha$ $x_{0}$.

Answer 2

1. ¿Qué sabe usted acerca de la composición de funciones continuas?
2. Dado que algunos $p \in \mathbb{R}$, ¿qué sabe usted acerca de la función
   $$ \iota_p: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2,\;x \mapsto (x,p) $$ ?

Estas preguntas pueden parecer un poco misterioso/fuera de lugar en este momento, pero que en realidad están haciendo alusión a cómo usted ya están tratando de demostrar que la declaración en su pregunta. Sólo, están haciendo suposiciones implícitas...

Como alternativa, pero es muy similar, deje $(x_n)_n$ ser una secuencia en $\mathbb{R}$$\lim_n\, x_n = x_0$. Para probar la continuidad de $\alpha$$x_0$, usted tiene que mostrar $\lim_n\, \alpha(x_n) = \alpha(x_0)$. Ahora, considere la secuencia de $(x_n',\,y_n')_n := (x_n,\,y_0)$ y el uso de lo que usted sabe acerca de $f$.

De cualquier manera, usted puede evitar el uso de $\varepsilon$-$\delta$ argumentos, utilizando lo que (probablemente) ya (debe) saber/ser permitido el uso de.

Answer 3

Que $\alpha(x) = f(x,y_0)$ de continuidad de $f$ tenemos $\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0$ tal eso si $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2$ y $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$. Si $|x-x_0|<\delta$ y $(x-x_0)^2+(y_0-y_0)^2<\delta^2$ un así $|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$ o $|\alpha(x)-\alpha(x_0)|<\varepsilon$. Esto quiere decir %#% $ #%