Condiciones de definición positiva: desigualdad matricial

Question

Dejemos que $0<\alpha<1$ y $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ . Estoy tratando de encontrar condiciones en $A$ y $B$ tal que \begin{equation} I_n-\frac{1}{\alpha}B^{\rm T}B-\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}( A^{\rm T}B+A)^{\rm T}( A^{\rm T}B+A)>0. \end{equation} Sin embargo, no sé cómo proceder. Se agradece cualquier idea o sugerencia.

Answer 1

Una pista:

Vuelva a escribirlo como debe ser positivo definido como usted desea:

$$Sc \triangleq \Big (I_n - \frac{1}{\alpha}B^T B \Big )- \frac{1}{4\alpha (1-\alpha)}\Big\{(A^TB+A)^T I_n (A^TB+A)\Big \} \succ 0$$

Entonces, utilizando Complemento de Schur , $S_c$ es positiva definida si y sólo si la matriz $S$ definido como:

$$S \triangleq \begin{pmatrix} \frac{1}{4\alpha (1-\alpha)}I_n & A^TB+A \\ (A^TB+A)^T & I_n - \frac{1}{\alpha}B^T B \end{pmatrix},$$

es:

$$S \succ 0 \quad \text{with the conditions mentioned below would be satisfied.} $$ También tenemos:

$$ \lambda_i(S) >0; \quad \text{for all } i = 0,1, ..., n.$$

Ahora, tiene que comprobar para qué $A$ y $B$ la relación anterior (complemento de Schur) puede satisfacerse.

En segundo lugar, hay que demostrar que los valores propios de dicha matriz de bloques son positivos.

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Nota al margen: Complemento de Schur

Para cualquier matriz simétrica X, de la forma

$$X \triangleq \begin{pmatrix} A & B \\ B^T & C \end{pmatrix},$$

si $A$ es invertible entonces se cumple la siguiente afirmación:

$X \succ 0$ si y sólo si $A \succ 0$ y $C-B^T A^{-1} B \succ 0.$

Answer 2

El problema se reduce a demostrar que \begin{equation} \lambda_{\max}\left(\frac{1}{\alpha}B^{\rm T}B+\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}( A^{\rm T}B+A)^{\rm T}( A^{\rm T}B+A)\right)<1. \end{equation} Dejemos que $\sigma_A$ y $\sigma_B$ sean los mayores valores singulares de $A$ y $B$ respectivamente. Entonces, se deduce que \begin{align} \lambda_{\max}&\left(\frac{1}{\alpha}B^{\rm T}B+\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}( A^{\rm T}B+A)^{\rm T}( A^{\rm T}B+A)\right)\\&\leq\frac{1}{\alpha}\sigma_B^2+\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}\sigma_{\max}^2\left(A^{\rm T}B+A\right)\\ &\leq\frac{1}{\alpha}\sigma_B^2+\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}\left(\sigma_{\max}^2\left(A^{\rm T}B\right)+2\sigma_{\max}\left(A^{\rm T}B\right)\sigma_A+\sigma_A^2\right)\\ &\leq\frac{1}{\alpha}\sigma_B^2+\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}\left(\sigma_A^2\sigma_B^2+2\sigma_A^2\sigma_B+\sigma_A^2\right)\\ \end{align} A continuación, suponga \begin{equation} \frac{1}{\alpha}\sigma_B^2+\frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}\left(\sigma_A^2\sigma_B^2+2\sigma_A^2\sigma_B+\sigma_A^2\right)<1, \end{equation} y se deduce que \begin{equation} 4\alpha^2-4\alpha(1+\sigma_B^2)+4\sigma_B^2+\sigma_A^2(\sigma_B+1)^2<0, \end{equation} lo que implica $\sigma_B<1$ y $\sigma_A<1-\sigma_B$ desde $0<\alpha<1$ . Así, $\sigma_A+\sigma_B<1$ es una condición suficiente.