En un problema de Collatz-como con dos ciclos de final

Question

En una versión alternativa de Collatz problema, uno recorre la función de $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definido por $$f(n)=\begin{cases}n/3 &\mbox{if}\ n\equiv0\ (\mbox{mod}3)\\ 2n+1&\mbox{if}\ n\equiv1\ (\mbox{mod}3)\\ 2n+2&\mbox{if}\ n\equiv2\ (\mbox{mod}3) \end{casos}$$

Hay dos ciclos: $\{1,3\}$$\{2,6\}$. A partir de cualquier $n$$\mathbb N$, uno termina en $\{1,3\}$ o en $\{2,6\}$.

Para mostrar esto, el uso de la inducción. La propiedad tiene por $n=1$$n=2$, obviamente. Si se mantiene para cada $m<n$, entonces:

• si $n=3k$,$f(n)=k$$k<3k=n$, por lo tanto, la inducción de hipótesis, un cierto número de iteraciones de $f$ aporta $k$ para el ciclo de $\{1,3\}$ o el ciclo de $\{2,6\}$;
• si $n=3k+1$, luego $f(n)=6k+3$, $f(f(n))=2k+1$ y $2k+1<3k+1=n$, por lo tanto, la inducción de hipótesis, un cierto número de iteraciones de $f$ aporta $2k+1$ para el ciclo de $\{1,3\}$ o el ciclo de $\{2,6\}$;
• si $n=3k+2$, luego $f(n)=6k+6$, $f(f(n))=2k+2$ y $2k+2<3k+2=n$, por lo tanto, la inducción de hipótesis, un cierto número de iteraciones de $f$ aporta $2k+2$ para el ciclo de $\{1,3\}$ o el ciclo de $\{2,6\}$.

Dado cualquier número $n$, vamos a $c(n)=1$ si, a partir de a $n$ y se itera $f$, uno termina en el $\{1,3\}$ ciclo, y $c(n)=2$ si uno de los extremos de la $\{2,6\}$ ciclo. La tabla de los primeros valores de $c(n)$ es de la siguiente manera:

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline c(n)&1&2&1&1&1&2&1&2&1&1&2&1&1&1&1&2&1&2&1&1\\ \end{array}

Es allí cualquier manera de caracterizar los números de $n$ según $c(n)$, el ciclo de caer en el? En otras palabras, lo que se puede probar sobre el conjunto $\{n\in\mathbb N\mid c(n)=1\}$?

Answer 1

Nota: esta respuesta aún no es una respuesta completa, posiblemente una respuesta completa no puede ser dado

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Una buena ansatz para definir un "carácter de acuerdo con el ciclo de caer en el" es, posiblemente, para escribir la inversa-se itera $C(a,A)$ comenzando en la raíz de $r_1=1$ y a raíz de $r_2=2$ y para crear los dos árboles de números.

Preliminares: Para hacer las cosas un poco más compacto, vamos a redefinir nuestra transformación-regla:

1. Suponga $ a \in \Bbb N^+ \backslash 3 $ $a \in \{1,2,4,5,7,8,\ldots \} $
2. Definir $\quad T(a) \overset{\text{def}}= {2a+(a \% 3) \over 3^A} \quad$ donde "$a\%b$" significa que el residuo de la división entera de a $a$ $b$ como en algunos lenguajes de programación
3. La inversa de a $T(a)$ luego $\quad C(a,A)={3^Aa-2+(a \% 2) \over 2 } \quad $ donde $A \in \Bbb N^+$ ahora es un parámetro libre adicional

Árbol de la generación de la raíz $r_1=1$:
Vamos a considerar que los números, que, por una transformación caer a $1$: de curso, que son, en primer lugar todos los números de $a_A(1) = 1 \cdot 3^A $ donde $ A \in \Bbb N^+$ . Pero por nuestra definición de los números de $a$ que queremos ver en que podemos omitir que (trivial) consideraciones aquí.

Así que veamos que los números de $a_k$ que tienen la propiedad de que $T(a)=1$. Esto son todos los números de $C(1,A)= { 1 \cdot3^A -2 + (1) \over 2} = { 3^A -1 \over 2} $ dando el vector de resultados $[a_{A}(1)]_{A>0}=[1,4,13,40,121,\ldots ]$

A continuación, utilizamos en cada uno de esos números y encontrar todos los números de $a_B(a_A(1)) = C(a_A(1),B)$. Para $A=B=1$ esto se traduce en el valor de $1$ y es por tanto el "trivial" ciclo de número de $1$ $A=1, B>1$ simplemente obtenemos de vuelta por el mismo vector que ya tenemos.
Así que nos fijamos en $a_B(a_A(1)) ; A \ge 2$, lo que significa $a_B(4), a_B(13), a_B(40), \ldots $ y llegar infinito de vectores de números para cada uno de ellos.
Para $a_B(4)$ obtenemos el vector $[a_B(4)]_{B\gt 0}=[5,17,53,161,\ldots]$
Para $a_B(13)$ obtenemos el vector $[a_B(13)]_{B\gt 0}=[19,58,175,\ldots]$
y así sucesivamente.
He hecho un poco la imagen para que el comienzo de ese árbol enraizado en la primera raíz $r_1=1$:
Algunas propiedades son inmediatamente visibles:

1. Los cuadros amarillos.
   una. Tienen un extraño "padre"
   _{("padre" significa: todos los números de la caja de transformar a los que los "padres" de la $T()$-transformación).
   Ejemplo: el cuadro con el primer elemento $19$ "padre" $13$ porque $T(19)=13$ (y, por supuesto, $T(13)=1=r_1$ $19$ cae a la primera raíz).}
   b. La progresión en el cuadro de es $a_{k+1}=3a_k+1$.
   c. Los números son alternativamente pares e impares.
   d. Los números son $1 \pmod 3$.

2. Los cuadros verdes.
   una. Ellos tienen incluso "padre".
   _{Ejemplo: el cuadro con el primer elemento $5$ "padre" $4$ porque $T(5)=4$ (e $T(4)=1=r_1$ ).}
   b. La progresión en el cuadro de es $a_{k+1}=3a_k+2$.
   c. Los números tienen la misma paridad; son todos impar o incluso todas (posiblemente dependiendo del factor de potencia de 2 en sus padres, no).
   d. Los números son $2 \pmod 3$.

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Provisorical curriculum vitae

: Esto debería ser suficiente para el comienzo. El analoguous árbol de la raíz $r_2=2$ puede ser construido analoguously. Todavía no he una fórmula más simple para el accordances de los números en los árboles con sus raíces.

Los árboles de $a$ ordenados como el aumento de las secuencias, de acuerdo a sus raíces:
para $r_1$ oeis A183213
para $r_2$ oeis A178931
(tenga en cuenta que el OEIS-secuencias de tener los números de los árboles y todos los múltiplos por potencias de 3)

Podemos relacionar que el árbol de la explicación en la OEIS-secuencias, que lidiar con el suelo-y la función de relación es intransparent a primera vista. Sin embargo, podemos notar, que podemos generar nuestro árbol con el suelo-función.
Deje $a_i$ denotar los elementos del vector de $[1,4,13,40,...]$ (que se caen a raíz de $r_1=1$ por un paso) de tal manera que tenemos $$a_i \underset{i \gt 0}= \left \lfloor {r_1 3^i-1\over 2} \right \rfloor $$.
A continuación, podemos de forma recursiva denotar los elementos de sus "hijos" por un segundo índice $j>0$ escrito $$a_{i,j} \underset{i,j \gt 0} =\left \lfloor { a_i \cdot 3^j-1\over 2} \right \rfloor $$ y de inmediato puede recurse arbitrariamente profunda mediante la adición de más índices: $$a_{i,j,k} \underset{i,j,k \gt 0} =\left \lfloor { a_{i,j} \cdot 3^k-1\over 2} \right \rfloor $$ $$a_{i,j,k,l} \underset{i,j,k,l \gt 0} =\left \lfloor { a_{i,j,k} \cdot 3^l-1\over 2} \right \rfloor $$ y así sucesivamente.
Por ejemplo, la entrada de $22$ en el cuadro inferior, en la imagen de arriba tendría el índice de $a_{2,1,2}$ y este debe ser calculado por el $$\begin{array}{} a_2 &= \left \lfloor {r_1 \cdot 3^2 -1 \over 2} \right \rfloor &= 4 \\ a_{2,1} &= \left \lfloor {4 \cdot 3^1-1 \over 2} \right \rfloor &= 5 \\ a_{2,1,2} &= \left \lfloor {5 \cdot 3^2-1 \over 2} \right \rfloor &= 22 \\ \end{array}$$

Este esquema utilizando la función del suelo parece estar de acuerdo con algunas de las fórmulas en los comentarios en el OEIS-secuencias y su relación con los "eigen-secuencias".

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El árbol desde la raíz $r_2$

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_{Contexto-comentario: podría ser instructivo comparar similar árboles de la collatz-problema (sólo el gráfico es un poco más primitivos, especialmente la representación de los números en la digitsystem a base 2 (no) resp base 3 (aquí) . Ver aquí y haga clic en "Acerca de la numérica y gráfica de los árboles" (subpágina sin marco)}