¿Cómo puedo saber si este sistema es cerrado o abierto?

Question

Estoy teniendo problemas con se trata de esto:

$A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\;{\left[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right[ \times \left]0,n\right[}\;\right)$

¿En el espacio euclidiano $\mathbb{R}^2$, es el subconjunto $A$ ya sea cerrado o abierto?

Dibujé una imagen $\mathbb{R}^2$ y creo que realmente está abierto, pero no puedo subir con una manera elaborada de describir por qué. Cualquier ayuda sería apreciada.

Gracias.

Answer 1

Está abierto. Para ver esto, observe que los puntos sólo problemáticos $(\frac1{n+1}, y)$ $y \in ]0,n[$. $]\frac1{n+2}, \frac1{n}[ \times ]y-\epsilon, y+\epsilon[ \subset$ De la serie original, donde $\epsilon = \min\left\{ \frac{n-y}{2}, \frac{y}{2} \right\}$.

Answer 2

Escoge un punto en el conjunto. Debe pertenecer a uno de los productos en la Unión.

Decir, pertenece a $\left[\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right[ \times \left]0,k\right[$.

Sea el punto $(x,y)$. Tenemos $\frac1{k+1} \le x < \frac1k$ y $0 < y < k$.

Ahora, consideramos $\left]\frac1{k+2},\frac{x+1/k}2\right[ \times \left]\frac y2,\frac{y+k}2\right[$ y demostrar que se encuentra en $A$.

El conjunto también está abierto

Ya que existe un conjunto abierto alrededor de cada punto en $A$, podemos concluir que el $A$ está abierto.