Preguntas sobre la convergencia de una serie infinita

Question

Si la secuencia de sumas parciales de una serie infinita $$\sum_{n=1}^∞ a_n$$ is bounded, show that $$\sum_{n=1}^∞ a_ne^{-nt}$$ is convergent for $t # > 0$

Solicitud: Realmente no necesito una respuesta directa, estoy estudiando serie infinita desde el último par de días. Por lo que no entiendo perfectamente esta cosa. Es por eso que quiero entender el proceso para resolver este tipo de problemas.

Gracias.

Answer 1

Dirichlet de la prueba, que se menciona en un comentario por user49640, implica que el resultado es el mismo si $e^{-nt}$ es reemplazado por $b_n$ $b_n$ monótonamente decreciente a $0$.

Aquí hay una más elementales de la solución, y se aplica si $e^{-nt}$ es reemplazado por $b_n$ $b_n>0$ $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ convergente.

Debido a que las sumas parciales de $\sum a_n$ están delimitadas, la secuencia de $(a_n)$ también es limitada, porque si $\left|\sum\limits_{n=1}^N a_n\right|\leq M$ todos los $N$, $|a_N|=\left|\sum\limits_{n=1}^N a_n-\sum\limits_{n=1}^{N-1} a_n\right|\leq 2M$ por la desigualdad de triángulo. Por lo tanto, para cada $N$, $\sum\limits_{n=1}^N |a_nb_n|\leq 2M\sum\limits_{n=1}^N b_n\leq 2M\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty$. Por el teorema de convergencia monótona, $\sum a_n b_n$ es absolutamente convergente, por lo tanto convergente.

Tenga en cuenta que $\sum e^{-nt}=\sum (e^{-t})^n$ es convergente cuando $t>0$ por la serie geométrica de la prueba.

Answer 2

Puesto que el % de sumas parciales $S_n$son limitadas, así que es el $n$-ésimo término $a_n=S_n-S_{n-1}$. Por lo tanto la serie es absolutamente convergente por comparación con una serie geométrica con cociente $e^{-t}$.

Answer 3

Realmente la hipótesis dicen claramente qué técnica utilizar, es decir, suma de partes.
Que $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ y $N>1$ de asumir. Tenemos:

$$ \sum_{n=1}^{N} a_n e^{-nt} = A_N e^{-N t}+\sum_{n=1}^{N-1}A_n\left(e^{-nt}-e^{-(n+1)t}\right) $ $ por lo tanto, si $|A_n|\leq C$para cualquier $n\geq 1$ %, tenemos $$ \left|\sum_{n=1}^{N}a_n e^{-nt}\right|\leq \frac{C}{e^{Nt}}+ C(1-e^{-t})\sum_{n=1}^{N-1}e^{-nt}\leq C e^{-Nt} + C e^{-t} $ $ y la serie dada es convergente.