Probar la extensión de Taylor con Teorema del valor medio

Question

En http://vapour-trail.blogspot.com/2006/03/brief-explanation-of-taylor-series-via.html uno puede encontrar una pista de cómo derivar Taylor expansiones del valor medio teorema.

El proceso va como sigue. Por el valor medio teorema tenemos ( suponiendo que $f$ tiene la diferenciabilidad de propiedades requiere de una infinita expansión de Taylor)

(ecuación 4)

A continuación, puede volver a aplicar el valor medio el teorema de la primera derivada en la ecuación (4) para obtener

Repetir el proceso indefinidamente rendimientos

Ahora, como lo señala el autor, la última ecuación sería equivalente a una infinita serie de Taylor si tuviéramos

(ecuación 8)

El autor escribe "por Desgracia, la ecuación 8 no es tan fácil de derivar el/la prueba en cuanto a su sencillez de lo contrario puede sugerir. Como tal, este artículo podría terminar aquí." Alguien le preguntó por las sugerencias en los comentarios, pero el autor nunca respondió.

Alguien podría proporcionar una prueba de (ecuación 8)?

Parece extraño para mí. Por ejemplo tenemos a $\xi_1 = x + \Delta_2$. Ecuación 8 dice $\Delta_2 = \frac{\Delta}{2}$. Por lo $\xi_1 = x + \frac{\Delta}{2}$. No significa que por cada $f$ (una vez más, tener las propiedades necesarias) y para cada intervalo de $[x,x+\Delta]$ en el dominio de $f$, el valor de la media es siempre la mitad de camino a través del intervalo (es decir, la derivada en el punto medio del intervalo es igual a la de la media de derivados sobre el intervalo)? Esto es obviamente falso (¿verdad?) entonces, ¿dónde está mi error?

Answer 1

(Ecuación 8) ciertamente no es verdad. Un simple contraejemplo es $f(t)=t^3, x=0, \Delta=1,$ porque llegamos $f'(\xi_1)=3\xi_1^2=f(1)-f(0)=1, \xi_1={1\over \sqrt3}$ y, por tanto, $\Delta_2=\xi_1={1\over \sqrt3}\neq {\Delta \over 2}.$ También Taylor Teorema no dice que un ser infinitamente derivable la función necesariamente coincide con su serie de Taylor. Todos Taylor Teorema da una medida del error en la estimación de una función con su $n^{th}$ el polinomio de Taylor.

Si usted quiere aprender acerca de la conexión entre la expansión de Taylor y el Valor medio Teorema sugiero:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
http://www.proofwiki.org/wiki/Taylor's_Theorem/One_Variable