¿$I\cdot J$ principal implica $I$ $J$ principal?

Question

Deje $R$ ser un Noetherian de dominio, y deje $I$ $J$ dos ideales de $R$ tales que su producto $I\cdot J$ es un no-cero director ideal. Es cierto que $I$ $J$ son los principales ideales ? Esta parece una pregunta fácil de resolver, pero no puedo encontrar una respuesta.

Cualquier idea es bienvenida, gracias !

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Muchas gracias por sus respuestas iluminadoras. Admito que estoy más interesado en una configuración geométrica (es decir, cuando $R$ es un álgebra, finitely generado, o una localización de eso). Yo no se adaptan ejemplos procedentes de la teoría de números para esta configuración. ¿Qué te parece ?

Answer 1

En ${\bf Z}[\sqrt{-5}]$,

$$(2)=(2,1+\sqrt{-5})(2,1-\sqrt{-5})$$

Answer 2

Es falso.

El contraejemplo de Gerry Myerson en el ring $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ es en realidad una situación típica. Considere la posibilidad de un campo de $K$ que es un finito algebraicas extensión de $\Bbb Q$ y deje $\cal O_K$ su anillo de enteros, es decir, la integral de cierre de $\Bbb Z$$K$. Entonces sabemos que el cero no ideales en $\cal O_K$ generar un grupo abelian $\cal I_K$ bajo el ideal de la multiplicación. Los principales ideales de generar un subgrupo $\cal P_K<\cal I_K$.

Un famoso resultado básico en la teoría algebraica de números dice que el cociente grupo $\cal C_K=\cal I_K/\cal P_K$ (el grupo de clase de $K$) es en realidad finita.

Ya que cualquier elemento en $\cal C_K$ puede ser representado por un ideal, esto tiene dos consecuencias inmediatas:

• dado cualquier ideal $I$ $\cal O_K$ siempre hay un ideal de a $J$ $\cal O_K$ tal que $IJ$ que es lo principal;

• hay un número natural $h$ , dependiendo únicamente de la $K$ tal que para cualquier ideal $I$$\cal O_K$, el ideal de $I^h$ es la directora.

Answer 3

En Lierre la petición , aquí es un geométrica ejemplo.

Considere la posibilidad de una curva elíptica $\bar E$ (con más de $\mathbb C$), un punto de $P\in \bar E$ orden $2$ en el grupo $\bar E(\mathbb C)$ (hay 3) y el complemento de $E=\bar E \setminus \lbrace O\rbrace $ de la procedencia en $\bar E$.
Como todos los que no sean integral de las curvas de $E$ es afín, con anillo de $R=\Gamma (E, \mathcal O_E)$.
El ideal de $I=\mathfrak m_P\subset R$ de las funciones de fuga en $P$ no es principal debido a $\mathcal O_E(-P)$ es no trivial de la línea de haz (uso Abel-Jacobi del teorema).
Sin embargo $I^2=\mathfrak m_P^2$ es principal debido a que la línea bundle $\mathcal O_E(-P)$ tiene como square $\mathcal O_E(-2P)=\mathcal O_E(0)=\mathcal O_E= $ el trivial de la línea de paquete, por lo que el $I$ es un ejemplo de no-principal ideal con $I\cdot I$ principal.