transformación lineal

Question

Bien, así que tengo esta Transformación, que yo sepa no es uno a uno de la transformación, pero no estoy seguro de por qué.

Una Transformación se define como $f(x,y)=(x+y, 2x+2y)$.

Ahora mi conocimiento es que usted necesita para cumplir las 2 condiciones: la Suma y la multiplicación escalar. He intentado tanto de ellos y de alguna manera los dos de ellos se cumplen perfectamente.

Sin embargo, la transformación NO es lineal. Esto es debido a que los vectores columna de la transformación son linealmente dependientes.

Entonces, ¿cómo se supone que voy a relacionar estos 2 aparentemente no relacionados conjeturas para comprobar la uno-una transformación ?

Answer 1

SUGERENCIA

Nota puede escribir $$ f =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, $$ y ya $f$ puede representarse por la multiplicación de la matriz, debe ser lineal, ya que la multiplicación de matrices es lineal...

En cuanto a que uno a uno, usted necesita para asegurarse de que cada $\begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$, en la mayoría existe una solución al $f(x,y) = \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix}$. Tienes razón, el hecho de que la matriz subyacente no es invertible debe desempeñar un papel fundamental en eso.

Answer 2

sugerencia

% $ $$f (1,-1)=(0,0) $y

$$f (0,0)=(0,0) $$

Answer 3

Sugerencia: ¿Qué es $f^{-1}(0,0)$? Por ejemplo $f(0,0)=(0,0)$, que $(0,0)\in f^{-1}(0,0)$. ¿Puedes encontrar (m) cualquier otro % de pares $(x,y)$tal que $f(x,y)=(0,0)$?

Answer 4

El % de transformación $f$es lineal en realidad, pero no es transformación uno a uno. Uno a uno significa que el sistema\begin{equation*} x + y = u \\ 2(x + y) = v \end{ecuación *} tiene una solución única para las variables $(x, y)$, es decir, pueden ser expresado a través de la variables $u$ y $v$. Pero el factor determinante de este sistema lineal es igual a 0 (las filas son linealmente dependientes), que significa que el transfomation no es uno a uno.