Resolver $p(n)^2=\sigma(n)+423$ para $1<n<2012$

Question

¿Cómo puedo resolver la ecuación $p(n)^2=\sigma(n)+423$ para $1

Hice esto: $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$, entonces $p(n)=p_1\cdots p_k$ y $\sigma(n)=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$. Entonces tenemos $$(p_1\cdots p_k)^2=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\cdots\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}+423.$$

Pero ahora estoy atascado :(. Ayúdame por favor.

Answer 1

Respuesta breve: Un programa simple puede demostrar que $n=1377$ es el único número menor que $100000$ que satisface $p(n)^2=\sigma(n)+423$

Respuesta completa rigurosa:

Lema 1: $n$ es un número impar.

Supongamos que $n$ es par. Entonces podemos observar que $p(n)^2-423=\sigma(n)$ es impar. Por lo tanto, cada $(p_i^{a_i+1}-1)/(p_i-1)=1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}$ es impar. Hay dos posibilidades para hacer este número impar: i) $p_i=2$, ii) $a_i$ es par. Es decir, $n=2^am^2$ para algún entero positivo $a$ y número impar $m$.

Ahora, supongamos que hay un número primo impar $p_j$ tal que $a_j \ge 4$. Entonces, $$n+423<\sigma(n)+423=p(n)^2=\prod_{i=1}^k p_i^2\le\frac{2}{p_j^2}\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}\le \frac{2n}{9}$$esto es una contradicción. Además, si el exponente de $2$ es mayor que $1$, entonces$$n+423<\sigma(n)+423=p(n)^2=\prod_{i=1}^k p_i^2\le\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}=n$$y esto también es una contradicción. Por lo tanto, $a_i=1$ si $p_i=2$, $a_i=2$ de lo contrario. Se sigue que $p(n)^2 = 2n$.

También hay que tener en cuenta que si $3|n$, entonces $2n=p(n)^2>\sigma(n)\ge n+n/2+n/3+n/6=2n$, lo cual es una contradicción.

i) $k=1$: $n=2$, imposible.

ii) $k=2$: $n=2p^2$ para algún primo impar $p$. Pero la ecuación $3(p^2+p+1)+423=4p^2$ no tiene una raíz entera.

iii) $k \ge 3$: $n\ge2 \times 5^2 \times 7^2>2016$, por lo que no hay solución.

Por lo tanto, $n$ debe ser un número impar.

Lema 2: $k > 1$. Es decir, $n$ no es $1$, primo o potencia de primo.

Es fácil ver que $n$ no es $1$. Sea $n=p^a$ para algún primo $p$. Entonces,$$p^2=p(n)=\sigma(n)+423=1+\cdots+p^a+423$$y si $a\ge 2$, es obvio que$$p^2<1+\cdots+p^a+423$$. Por lo tanto $a=1$. Pero entonces $p^2=1+p+423$ y se puede verificar que la ecuación cuadrática no tiene raíz entera.

Lema 3: $k<3$.

En primer lugar, si $k \ge 5$, entonces $n \ge 3*5*7*11*13 \ge 2016$. Por lo tanto, $k \le 4$.

Recordar que$$\frac{\sigma(n)}{n}=\prod_{i=1}^k \left(1+\frac{1}{p_i}+\cdots+\frac{1}{p_i^{a_i}}\right)<\prod_{i=1}^k \left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)=\prod_{i=1}^k \left(\frac{p_i}{p_i-1}\right)$$ si $k\ge 3$, entonces por el lema 1, $p(n)^2\ge(3*5*7)^2>10000$ y $\sigma(n)+423

La solución al problema en sí

Por el lema 2 y 3, $k=2$. Sea $n=p^aq^b$ donde $p$ y $q$ son primos y $p

i) $(p,q)=(3,5)$: $\sigma(n)=-198$. Sin solución.

ii) $(p,q)=(3,7)$: $\sigma(n)=18$. $21\le n<\sigma(n)=18$. Sin solución.

iii) $(p,q)=(3,11)$: $\sigma(n)=666$. $666$ es múltiplo de $37$, por lo tanto $37|(3^{a+1}-1)$ o $37|(11^{b+1}-1)$, y $3^a<666$, $11^b<666$. Sin embargo, no existe un $a$ o $b$ que satisfaga estas condiciones.

iv) $(p,q)=(3,13)$: $\sigma(n)=1098$. $1098$ es múltiplo de $61$, por lo tanto $61|(3^{a+1}-1)$ o $61|(13^{b+1}-1)$, y $3^a<1098$, $13^b<1098$. El único $a$ o $b$ que satisface la condición es $b=2$. Pero ahora tenemos $\sigma(3^a)=6$, lo cual es imposible.

v) $(p,q)=(3,17)$: $\sigma(n)=2178$. $2178$ es múltiplo de $11^2$, pero no hay un $b$ tal que $11|(17^{b+1}-1)$ y $17^b<2178$. Por otro lado, el único $a$ que satisface $11|(3^{a+1}-1)$ y $3^a<2178$ es $a=4$. Ahora obtenemos $\sigma(17^b)=18$, lo cual da $b=1$ y $n=1377$.

vi) $(p,q)=(3,19)$: $\sigma(n)=2826$. $2826$ es múltiplo de $157$, por lo tanto $157|(3^{a+1}-1)$ o $157|(19^{b+1}-1)$, y $3^a<2826$, $19^b<2826$. Sin embargo, no existe un $a$ o $b$ que satisfaga estas condiciones.

vii) $(p,q)=(5,7)$: $\sigma(n)=802$. $802$ es múltiplo de $401$, por lo tanto $401|(5^{a+1}-1)$ o $401|(7^{b+1}-1)$, y $5^a<802$, $7^b<802$. Sin embargo, no existe un $a$ o $b$ que satisfaga estas condiciones.

viii) $(p,q)=(5,11)$: $\sigma(n)=2602$. $2602$ es múltiplo de $1301$, por lo tanto $1301|(5^{a+1}-1)$ o $1301|(11^{b+1}-1)$, y $5^a<2602$, $11^b<2602$. Sin embargo, no existe un $a$ o $b$ que satisfaga estas condiciones.

Por lo tanto, $n=1377$ es la única solución.